角平分线共点 内心性质 双曲平面

hbghlyj

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三角形的内角平分线共点。
证明
设ABC为一个双曲三角形，角平分线为AQ、BR和CP。

根据双曲正弦定理应用于双曲三角形AQC和AQB，
sinh(d(Q,C))/sin(∠QAC) = sinh(d(A,Q))/sin(∠ACQ)，以及
sinh(d(B,Q))/sin(∠QAB) = sinh(d(A,Q))/sin(∠ABQ)。
由于AQ平分角BAC，得到∠QAC = ∠QAB，因此这些方程式给出
h(B,C,Q) = sin(∠ACB)/sin(∠ABC)。

类似地，使用平分线BR和CP，
h(A,B,P) = sin(∠CBA)/sin(∠CAB)，以及
h(C,A,R) = sin(∠BAC)/sin(∠BCA)。

将这些比值相乘，
h(A,B,P)h(B,C,Q)h(C,A,R) = 1。

角平分线都位于双曲三角形内部，因此任意两条平分线必相交。
因此，根据塞瓦定理的逆定理，
平分线AQ、BR和CP是共线的。

内心性质的证明
假设X位于角BAC的平分线上。
然后，关于双曲直线AX进行双曲反演，将AB上的点映射到AC上的点。

设从X引出的双曲垂线分别与AB和AC相交于D和F。
由于双曲反演保持角度不变，并且双曲垂线是唯一的，
双曲反演将D映射到F，因此d(X,D) = d(X,F)。

现在假设X还位于角BCA的平分线上。那么也有d(X,D) = d(X,E)。

由此可知，D、E和F位于以X为中心的双曲圆上。

最后，由于XD垂直于AB，圆C切AB于D，类似地，切BC于E，F切AC于F。

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