出了一道题目(已解, 非钓鱼), 其组合学背景可以在第三问看出来. 唯一题设:
$X$ 是 $\mathbb R$ 中任意给定区间 $I$ 上的分布. 倘若知道极限的定义, 可以假定 $X$ 是 $\mathbb R$ 上的分布, 且满足 $\lim_{M\to \infty}P(|X|>M)=0$ (例如 $\mathbb R$ 上均匀分布不符合规则).
(1) 若 $Y$ 与 $X$ 独立同分布, 证明
$$
\begin{align*}
\dfrac{1}{1!!}P(|X-Y|\leq 1!)&>\dfrac{1}{3!!}P(|X-Y|\leq 2!)\\
>\dfrac{1}{5!!}P(|X-Y|\leq 3!)&>\dfrac{1}{7!!}P(|X-Y|\leq 4!)\\
>\dfrac{1}{9!!}P(|X-Y|\leq 5!)&>\dfrac{1}{11!!}P(|X-Y|\leq 6!)\\
>\dfrac{1}{(2k-1)!!}P(|X-Y&|\leq k!)>\cdots
\end{align*}
$$
(2) 证明以上不等式中系数无法改作更优. 换言之, 对任意 $k$, 总存在一列分布 $X_n$ 与独立同分布的 $Y_n$ 使得
$$
\dfrac{\frac{1}{(2k-1)!!}P(|X_n-Y_n|\leq k!)}{\frac{1}{(2k+1)!!}P(|X_n-Y_n|\leq (k+1)!)}\longrightarrow 1.
$$
(3) $X_1$, $X_2$, $X_3$ 是满足题设的分布, 取 $Y_i$ 为 $X_i$ 的独立同分布. 记
$$
Z=\sqrt{|X_1-Y_1|^2+|X_2-Y_2|^2+|X_3-Y_3|^2}.
$$
证明 $P(Z\leq 1.00000001)<13\cdot P(Z\leq 1)$. 并说明 $13$ 是最优系数. | 
hbghlyj
发表于 2024-11-7 04:34
