Fatou引理 疑问

hbghlyj

非负可测函数$g_n:ℝ\toℝ,n\in\Bbb N$
$g∈L^1(ℝ)$ 且 $∀x:\lim_{n\to\infty}g_n(x)=g(x)$ 且 $\lim_{n\to\infty}\left\|g_n\right\|_1=\|g\|_1$
是否一定有$\lim_{n\to\infty}∫\sup_{r⩾n}g_r=∫g$

Czhang271828

$\displaystyle \int\sup_{r\geq n}g_r$ 不一定是 $L^1(\mathbb R)$ 函数. 例如记 $\mathbb R$ 上函数 $\varphi(x) =2-||x+1|-|x-1||$. 取 $g_n(x)=\varphi(n(x-n))$, $g=0$. 此时 $\{g_n\}$ 逐点且依范数收敛至 $g$. $\varphi$ 的样子: 搬运一楼的图

$g_n$'s 如下

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-5-29 12:45
$\varphi(x) =2-\abs{|x+1|-|x-1|}$. 取 $g_n(x)=\varphi(n(x-n))$, $g=0$. 此时 $\{g_n\}$ 逐点且依范数收敛至 $g$.

$\|g_n-g\|_1=\frac2n\to0$. $\{g_n\}$ 依范数收敛至 $g$.👌
$\displaystyle \int\sup_{r\geq n}g_r=\sum_{r\geq n}\frac2r=\infty$

Czhang271828

Czhang271828 发表于 2023-5-29 19:45
$\displaystyle \int\sup_{r\geq n}g_r$ 不一定是 $L^1(\mathbb R)$ 函数. 例如记 $\mathbb R$ 上函数 $\va ...

用 $\texttt{mathcha.io}$ 画了个图, 其中数学画板转 $\texttt{Tikz}$ 甚是方便. 可惜函数转不了 $\texttt{Tikz}$, 不失真的格式只有 $\texttt{.pdf}$ 和 $\texttt{.svg}$, 论坛有啥搬运 svg 图片的法子吗? $\color{blue}{\text{已在 5# 与 8# 中解决}}$.  

原图链接(只读)

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-5-29 13:41
论坛有啥搬运 svg 图片的法子吗?

上传svg为附件并使用JS
例子
例子

1. startconvert(14397);
2. async function startconvert(num){
3. const url = $('attach_'+num).firstElementChild.href;
4. var has_fetched=false;
5. var contentType,response;
6. do{
7. if(has_fetched){console.error('attach_'+num+' failed, retry...')};
8. response = await fetch(url);
9. contentType = response.headers.get('content-type');
10. has_fetched=true;
11. }while(!contentType||!contentType.includes('application/octet-stream'))
12. console.info('attach_'+num+' succeeded!');
14. const decoder = new TextDecoder();
15. const reader = response.body.getReader();
16. let str = '';
17. while (true) {
18.   const { value, done } = await reader.read();
19.   if (done) break;
20.   str += decoder.decode(value);
21. }
22. let sec=document.createElement('section');
23. $('attach_'+num).parentNode.replaceWith(sec);
24. let shadow=sec.attachShadow({mode: 'open'});
25. let mydiv=document.createElement('div');
26. shadow.appendChild(mydiv);
27. mydiv.innerHTML=str;
28. }

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hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-5-29 13:41
论坛有啥搬运 pdf 的法子吗?

上传pdf为附件并使用JS
例子

1. function createObjectURL(object) {
2.     return (window.URL) ? window.URL.createObjectURL(object) : window.webkitURL.createObjectURL(object);
3. }
4. function _arrayBufferToBase64( buffer ) {
5.     var binary = '';
6.     var bytes = new Uint8Array( buffer );
7.     var len = bytes.byteLength;
8.     for (var i = 0; i < len; i++) {
9.         binary += String.fromCharCode( bytes[ i ] );
10.     }
11.     return window.btoa( binary );
12. }
13. async function displayPDF(num){
14. const url=$('attach_'+num).firstElementChild.href;
15. const buf = await fetch(url).then((r) => r.arrayBuffer());
16. const data = _arrayBufferToBase64(buf);
17.     $('pdf_'+num).src='data:application/pdf;base64,' + data+"#toolbar=0";
18.    $('attach_'+num).parentNode.remove();
19. }
20. displayPDF(14160);displayPDF(14161);displayPDF(14162);

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Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-5-29 20:44
上传svg为附件并使用JS
例子
例子

细说操作方式? 例子里似乎看不到源码

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-5-29 12:41
论坛有啥搬运 svg 图片的法子吗?

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