葛大爷命制的一道高中题

LuckyE

各位大神有无妙解

kuing

`g_k(x)` 的上半截没了一半……

这里有解答：zhuanlan.zhihu.com/p/621740738 （我没仔细看，提不起性趣😅

LuckyE

只有这种强行硬算的办法吗，目前只看到这一种解法

isee

源自网洛，可能是标答，知乎提问区无人响应.

战巡

啥玩意啊，整这么麻烦...

首先算出来
\[g_k(x)=x^3+(k-3a-b)x^2+(3a^2+3ab-3ak-bk+k^2)x+一大堆常数\]
\[g'_k(x)=3x^2+(2k-2b-6a)x+3a^2+3ab-3ak-bk+k^2\]
你要对任意$k\in\mathbb{Z}$都有$x>k$时$g_k(x)$递增，就得有对任意$k\in\mathbb{Z}$都有$x>k$时$g'_k(x)\ge 0$
这是个二次函数，先假设它存在负值好了，不难算出它的零点
\[x=\frac{1}{3}(3a+b-k\pm\sqrt{-3ab+b^2+3ak+bk-2k^2})\]
如此则需要$k$比它右边的零点还大，也就得有
\[\frac{1}{3}(3a+b-k+\sqrt{-3ab+b^2+3ak+bk-2k^2})\le k\]
解出来一看
\[\frac{a+b}{2}\le k\le b\]
完咯，$k$取不了全整数，甚至连整数都取不了，再见！

那只能不存在负值，也就是
\[\Delta=-3ab+b^2+3ak+bk-2k^2\le 0\]
\[k\le\frac{1}{2}(3a-b) 或 k\ge b\]
这个要求$k$能取全整数，说明$[\frac{1}{2}(3a-b),b]$这个区间，必须夹在两个整数之间，而题目给了$0<a<b<1$，因此它必须夹在$[0,1]$之间，也就有
\[\frac{1}{2}(3a-b)\ge0\]
\[\frac{b}{a}\le 3\]

O-17

这是我数学老师的做法...计算量主要集中在前三步, 右下角韦达定理的 $x_1+x_2$ 漏乘了个 2 , 问题不大


比较好奇如何用多项式的性质来简化第一步的计算, 因为 $f_k(x)=\dfrac{W(x)-W(k)}{x-k}$ 的分子在 $x=k$ 时取零, 所以必有因式 $(x-k)$ . 那么有什么可以绕开打开因式再多项式除法这两个计算量极其巨大的过程, 直接得出这个所谓 "割线斜率" $f_k(x)$ 的方法呢?
如果 $W(x)$ 给的是一般式 $W(x)=\sum_{i=0}^{n}{a_ix^i}$ 还稍微好算一点, 因为
\begin{align*}
f_k(x)&=\frac{\sum_{i=0}^{n}{a_ix^i}-\sum_{i=0}^{n}{a_ik^i}}{x-k}\\
&=\sum_{i=0}^{n}{a_i\cdot\frac{x^i-k^i}{x-k}}\\
&=\sum_{i=0}^n{\left(a_i\sum_{j=0}^{n-1}x^jk^{n-1-j}\right)}
\end{align*}
但这里 $W(x)$ 给的偏偏又是零点式...
希望 3 天后的高考别考计算量这么大的小题, 我是真算不明白...