方程组mod m有解

hbghlyj

Algebra Chapter4 page16
7. Continuing Problem 6, consider the simultaneous equations
$6x + 4y + 13z ≡ 5, 9x + 6y ≡ 7, 12x + 8y − z ≡ 12 \pmod m$
For which values of $m ≥ 2$ will the equations be consistent?

找出所有 $m$ 使得方程组$\begin{aligned}6x + 4y + 13z &≡ 5,\\9x + 6y&≡ 7,\\12x + 8y - z&≡ 12\end{aligned}\pmod m$有解

Czhang271828

那就是问 $\begin{pmatrix}6&4&13\\9&6&0\\12&8&-1\end{pmatrix}$ 的列向量空间何时包含 $\begin{pmatrix}5\\7\\12\end{pmatrix}$.

先将矩阵各列进行初等变换, 得
\[
\begin{pmatrix}54&0&13\\3&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}
\]
原问题等价于, $\mathrm{span}\{\binom{54}{3}\}$ 何时包含 $\binom{12\cdot 13+5}{7}=\binom{161}{7}$.

自然地, $m$ 不为 $3$ 倍数. 此时 $\mathrm{span}\{\binom{54}{3}\}=\mathrm{span}\{\binom{18}{1}\}$. 从而 $161=7\cdot 18\pmod m$. 此时 $m$ 是  $35$ 的因子.

综上, $m=5$ 或 $7$.

hbghlyj

7. Continuing Problem 6, consider the simultaneous equations

应该使用 6. 的结果吗？