浙江大学 2022 数分 T8

Czhang271828

来源: zhuanlan.zhihu.com/p/528574032

设 $f$ 是 $\mathbb R$ 上单调, 连续且满足 $f(x+1)=f(x)+1$ 的实函数. $f^n=f\circ \cdots \circ f$ 是 $f$ 的 $n$ 次复合. 记 $\varphi_n(x)=f^n(x)-x$.

(1) 证明: 对于 $n\geq 1$, $\varphi_n(x)$ 是周期函数.

(2) 证明: 对于任意的 $x\in  \mathbb R$, $\lim_{n\to\infty}\dfrac{\varphi_n(x)}{n}$ 存在且与极限值 $x$ 无关.

第一问简单. $f^{n}(x+1)=f^{n-1}(f(x)+1)=\cdots =f^n(x)+1$. 从而 $\varphi _n$ 是周期函数.

第二问: 定义圆环 $S:=\mathbb R/\mathbb Z:=\{x+\mathbb Z\mid x\in \mathbb R\}$, 从而 $f$ 在 $S$ 上良定义(记 $\tilde f:S\to S$). 依照单调性知 $f$ 是 $S$ 的自同胚. $\varphi:t\mapsto f(t)-t$ 给出 $t$ 在 $f$ 下的旋转角. 定义 $f^0(x)=x$, 从而
$$
\dfrac{\varphi _n(x)}{n}=\dfrac{\sum_{i=1}^n [f^i(x)-f^{i-1}(x)]}{n},
$$
为 $x$ 经 $f$ 的 $n$ 次平均旋转角. 由于 $\varphi_n$ 是周期函数, 定义
$$
\min_n:=\inf_{t\in \mathbb R} \varphi _m(t),\quad \max_n:=\sup_{t\in \mathbb R} \varphi _m(t).
$$
对任意 $p,m,r\in \mathbb N_+$, 以及 $n=pm+r$, 总有
$$
p\min_m+r\min_1\leq f^{n}(x)-f^0(x)\leq p\max_m+r\max_1.
$$
代入 $f^n(x)-f^0(x)=(pm+r)\cdot \dfrac{\varphi_n(x)}{n}$, 得
$$
\dfrac{p\min_m+r\min_1}{pm+r}\leq \dfrac{\varphi_n(x)}n\leq \dfrac{p\max_m+r\max_1}{pm+r}.
$$
关于 $n$ 取极限, 得
$$
\dfrac{\min_m}{m}\leq \liminf\dfrac{\varphi_n(x)}{n}\leq \limsup\dfrac{\varphi_n(x)}{n}\leq\dfrac{\max_m}{m}.
$$
注意到上式对任意 $m$ 与 $x$ 成立. 再依 $\varphi_m(x)+x$ 的单调性知 $|\min_m-\max_m|\leq 1$. 因此,
$$
\liminf\dfrac{\varphi_n(x)}{n}= \limsup\dfrac{\varphi_n(x)}{n}=\lim\dfrac{\max\varphi_m}{m}.
$$

原回答.

证明. (1) 数学归纳法. (2) 记周期函数 $g(x)=f(x)-[x]$. 此时归纳得
$$
\varphi_n(x)=g^n(x)+\sum_{k=0}^{n-1}[g^{k}(x)]-x.
$$
从而原极限为
$$
\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sum_{k=1}^n [g^k(x)]}{n}-1.
$$
现在这个问题变得有趣了: 分段单调递增函数 $g:[0,1]\to[0,1]$ 满足
$$
g:(0,g^{-1}(0))\to (g(0),1),\quad (g^{-1}(0),1)\to (0,g(0))
$$
则数列 $\{g^k(x)\}_{k\in \mathbb N}$ 中落在 $(g(0),1)$ 内的值比例固定, 且与 $x$ 无关.

换言之, 记 $S^1:=\mathbb R/\mathbb Z$, 则 $g:S^1\to S^1$ 将'顺时针绕行一圈'映至'顺时针绕行一圈'. 原极限即
$$
\lim_{n\to\infty}\dfrac{ \{1\leq k\leq n\mid g^k(x)\in [g(0),1)\}}{n}-1.
$$
以上命题自然是微分动力系统的熟知结论. 上述极限(旋转角)确实存在且不依赖 $x$ 的选取, 证明见此书 P34.