Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC=8，∠BCD=∠ADC=2∠ACB，求 AD 。

uk702

如图，Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC=8，D 是与 A 异侧的一点且满足 ∠BCD=∠ADC=2∠ACB，求 AD 。
有什么高招？

kuing

用正弦定理呗，记 `t=\angle ACB`，则
\begin{align*}
\frac{AD}{AC}&=\frac{\sin3t}{\sin2t}=\frac{\sin(2t+t)}{\sin2t}\\
&=\cos t+\frac{\cos2t\sin t}{\sin2t}\\
&=\cos t+\frac{2\cos^2t-1}{2\cos t}\\
&=2\cos t-\frac1{2\cos t}\\
&=\frac4{\sqrt5}-\frac{\sqrt5}4,
\end{align*}
从而 `AD=16-\sqrt5`。

（如果限初中方法那就当我没发😑）

uk702

这是目前找到的最几何的解法。

乌贼

uk702 发表于 2023-6-13 08:37
这是目前找到的最几何的解法。

大同小异
如图，
$ AE\px CD $交$ BA $于$ E $，则$ AEDC $为等腰梯形，取$ BF=3 $，有\[ AF=5\riff\angle AFB=2\angle ACB=\angle BCD=\angle AEB \]得\[ \triangle ABE\cong \triangle ABF\riff BE=BF=3\riff AD=CE=11 \]