区间上的二元最大值

Canhuang

设$a,b\in[1,2]$,则$f=\dfrac{a^2+b^2}{ab-\dfrac13}$的最大值$\_\_\_\_\_\_$.

我的做法:
$f\leqslant\dfrac{a^2b^2+1}{ab-\dfrac13}=\dfrac19(9x-3)+\dfrac{10}{9x-3}+\dfrac23\leqslant3,x=ab$

有没有其他做法?

kuing

看成关于 `a` 的函数 `f(a)`，它一定可以表示为 `a/b+C_1/(ab-1/3)+C_2` 的形式，由于 `f((1/(3b))^+)\to+\infty`，所以 `C_1` 一定是正的，因此 `f(a)` 在 `(1/(3b),+\infty)` 上是下凸函数，对 `b` 同理，所以在条件所限的区域内，`f` 关于 `a`, `b` 都是下凸函数，因此最大值一定在区间端点处取得。

Canhuang

kuing 发表于 2023-6-13 12:15
看成关于 `a` 的函数 `f(a)`，它一定可以表示为 `a/b+C_1/(ab-1/3)+C_2` 的形式，由于 `f((1/(3b))^+)\to+\ ...

最小值怎么求呢?

kuing

Canhuang 发表于 2023-6-13 17:45
最小值怎么求呢?

那就直接 `a^2+b^2\ge2ab` 呗