一个四元最值问题

力工

已知$a\geqslant b\geqslant c\geqslant d>0,a^2+b^2+c^2+d^2=10$,求$2a-3c+4d$的最大值。如果求最小值呢？

kuing

呃，所求式，没有 b ？真的没 b 吗？？

kuing

那就，记 `f=2a-3c+4d`。

固定 `c`, `d`，则当 `b` 减少时 `a` 增大，`f` 增大，所以最大值时必定 `b=c`，条件变成 `a\geqslant c\geqslant d>0`, `a^2+2c^2+d^2=10`。

然后固定 `a`，则当 `d` 增大时 `c` 减少，`f` 增大，所以最大值时必定 `c=d`，条件进一步变成 `a\geqslant c>0`, `a^2+3c^2=10`，而 `f` 就变成
\[f=2a+c\leqslant\sqrt{(a^2+3c^2)\left(4+\frac13\right)}=\sqrt{\frac{130}3},\]
当 `a=2\sqrt{\frac{30}{13}}`, `b=c=d=\sqrt{\frac{10}{39}}` 时取等。

力工

kuing 发表于 2023-6-15 15:36
那就，记 `f=2a-3c+4d`。

固定 `c`, `d`，则当 `b` 减少时 `a` 增大，`f` 增大，所以最大值时必定 `b=c`， ...

k哥不等式圣手！学习上面的想法，最大值的求法写成：
$a^2+b^2+c^2+d^2\geqslant a^2+3d^2$,
$2a-3c+4d\leqslant 2a+d\leqslant\sqrt{(a^2+3d^2)(4+\frac{1}{3})}$.