求证一个三元不等式

lemondian

若实数$a,b,c$满足$(a+b)(b+c)<0$，证明：
$|\dfrac{a-b}{c+b}|\cdot \sqrt{\dfrac{a-c}{a+b}}+|\dfrac{c-b}{a+b}|\cdot \sqrt{\dfrac{c-a}{c+b}}\geqslant \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

kuing

这个不等式实际上就是今年高考那道“抛物线矩形周长”里面抽出来的。

lemondian

kuing 发表于 2023-6-15 15:40
这个不等式实际上就是今年高考那道“抛物线矩形周长”里面抽出来的。

我从一个QQ群看到的，听说是这样来的。
但这个如何证明呢？

Czhang271828

lemondian 发表于 2023-6-15 15:45
我从一个QQ群看到的，听说是这样来的。
但这个如何证明呢？

不妨设 $(a+b)(b+c)=-1$, 则 $(a+b)$ 是 $(a,a^2)$ 与 $(b,b^2)$ 间割线的斜率, $(b+c)$ 同理. 不等式即
\[
|a-b|\sqrt{\left|1-\dfrac{a+b}{b+c}\right|}+|c-b|\sqrt{\left|1-\dfrac{b+c}{a+b}\right|}\geq\dfrac{3\sqrt 3}{2}.
\]
再和三楼的 $|AB|+|AC|$ 比较即可.  

kuing

lemondian 发表于 2023-6-15 15:45
我从一个QQ群看到的，听说是这样来的。
但这个如何证明呢？

那我就说一下具体是怎么抽的：

令 `A(a,a^2)`, `B(b,b^2)`, `C(c,c^2)`，则 `k_{AB}=a+b`, `k_{BC}=b+c`，垂直时 `(a+b)(b+c)=-1`，边长 `\abs{AB}=\abs{a-b}\sqrt{1+(a+b)^2}`，利用 `(a+b)(b+c)=-1` 将其齐次化，有
\[\abs{AB}=\frac{\abs{a-b}}{\sqrt{-(a+b)(b+c)}}\sqrt{1-\frac{a+b}{b+c}}=\left|\frac{a-b}{c+b}\right|\sqrt{\frac{a-c}{a+b}},\]
同理
\[\abs{BC}=\left|\frac{c-b}{a+b}\right|\sqrt{\frac{c-a}{c+b}},\]
而齐次之后，`(a+b)(b+c)=-1` 就可以一般化为 `(a+b)(b+c)<0`，不等式就这样抽出来了。

力工

kuing 发表于 2023-6-15 16:32
那我就说一下具体是怎么抽的：

令 `A(a,a^2)`, `B(b,b^2)`, `C(c,c^2)`，则 `k_{AB}=a+b`, `k_{BC}=b+c` ...

据说是陈计教授的。
若$a、b、c$满足$(a + b)(b + c) < 0$, 证明：
(1)$\frac{a-c}{a+b}\cdot \abs{\frac{a-b}{c+a}}+\frac{c-a}{b+c}\cdot \abs{\frac{b-c}{c+a}}>1$
(2)$\frac{a-c}{a+b}\cdot \abs{\frac{a-b}{b+c}}+\frac{c-a}{b+c}\cdot \abs{\frac{b-c}{a+b}}\geqslant4$

lemondian

找到一个1#的证明：
令$x=a+b<0,y=b+c$，则$c-a=y-x$.
不等式即证:$|\dfrac{x-2b}{y}|\cdot \sqrt{\dfrac{y-x}{-x}}+|\dfrac{y-2b}{x}|\cdot \sqrt{\dfrac{y-x}{y}}\geqslant \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
只需证：$|\dfrac{x-y}{y}|\cdot \sqrt{\dfrac{y-x}{-x}}\geqslant \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
<=$4(y-x)^3+27xy^2=(4y-x)(y+2x)^2\geqslant 0$
第二行如何到第三行的？看不懂这个地方，请教大家！
@kuing,@Czhang271828,@力工。。。

kuing

lemondian 发表于 2023-6-15 19:00
找到一个1#的证明：
令$x=a+b

看来我在 2# 链接里的解法你并没有学习到。
我在 2# 链接里的解法中说过：“注意到 ... 为开口向上的折线函数，其最小值必在折点处取得，因此 ... ”
这里也一样啊，关于 b 的折线，那么只需考虑 b=x/2 或 b=y/2。