无限多个事件的交集

hbghlyj

如果任意有限子集事件相互独立，这是否意味着无限事件相互独立

Independence
A finite set of events is mutually independent if every event is independent of any intersection of the other events —that is, if and only if for every $ k\leq n $ and for every $k$ indices $ 1\leq i_{1}<\dots <i_{k}\leq n $,
$$ \Pr \left(\bigcap _{j=1}^{k}A_{i_{j}}\right)=\prod _{j=1}^{k}\Pr (A_{i_{j}}) $$

如果我们有无限多个事件$A_1,A_2,\cdots$，我们可以推出$ \Pr \left(\bigcap _{i=1}^\infty A_i\right)=\prod _{i=1}^\infty\Pr (A_i) $吗？

Czhang271828

如果任意有限子集事件相互独立, 这是否意味着无限事件相互独立?

这是你的问题.

如果我们有无限多个事件 $A_1,A_2,\cdots$, 我们可以推出 $\Pr \left(\bigcap _{i=1}^\infty A_i\right)=\prod _{i=1}^\infty\Pr (A_i)$ 吗?

这是你的式子.

首先这个问题和式子不是一回事, 概率为 $0$ 不代表事件不发生.

下面例子对于问题而言是反例, 但公式成立: 记事件 $A_k$ 为第 $k$ 次抛出的硬币是反面, $A_0$ 为有限步内能抛出正面. 那么 $\{A_k\}_{k\geq 0}$ 满足有限事件相互独立之假定.

下面式子对问题和式子都是反例, 实际上是不取等的 Fatou 引理: 在 $\mathbb N_+$ 上随机选一个数, 记 $A_k$ 为没选到 $k$, 那么式子左侧是 $0$ 右侧是 $1$.

如果这可数个事件确实是独立的, 那么可以利用 Dependent choice 公设给出相应的式子. 定义无限事件相互独立需要这个公设, 上文对式子的反驳表明, 现有的公理可以定义少部分'不可能独立的无限事件', 实际上是在在虚空索敌. 我倾向认为这是抽象废话, 例如我们可以规定 $\mathbb R$ 到自身双射具有不动点的概率为 $1-e^{-1}$, 但这本身没什么用.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-6-17 18:22
下面式子对问题和式子都是反例, 实际上是不取等的 Fatou 引理: 在 $\mathbb N_+$ 上随机选一个数, 记 $A_k$ 为没选到 $k$, 那么式子左侧是 $0$ 右侧是 $1$.

如果加上一个限制 $ \Pr \left(\bigcap _{i=1}^\infty A_i\right)>0$，可以推出$ \Pr \left(\bigcap _{i=1}^\infty A_i\right)=\prod _{i=1}^\infty\Pr (A_i) $吗？

hbghlyj

What is the probability of picking a positive real number?

What we need (and there a decision comes in) is a probability space $(\mathbb R,\mathcal A,P)$ that satisfies $(0,\infty)\in\mathcal A$.