2023年新高考2卷导数大题

lemondian

2023年新高考2卷：
（1）证明：当$0<x<1$时，$x-x^2<\sinx<x$；
（2）已知函数$f(x)=\cos ax-\ln(1-x^2)$，若$x=0$是$f(x)$的极大值点，求$a$的取值范围。

战巡

(1)
右边显然，忽略
\[\frac{d}{dx}(x-x^2-\sin(x))=1-2x-\cos(x)\]
\[=2\sin^2(\frac{x}{2})-2x\]
\[\le2(\frac{x}{2})^2-2x=\frac{x}{2}(x-4)<0\]
故此$x=0$时取最大值，那当然有
\[x-x^2<\sin(x)\]

(2)
\[f''(0)=2-a^2<0\]
\[a<-\sqrt{2} 或 a>\sqrt{2}\]
最后验证一下$a^2=2$是个啥情况，此时
\[f(x)=\cos(\pm\sqrt{2}x)-\ln(1-x^2)\]
\[\ge 1-\frac{2x^2}{2}-\ln(1-x^2)\ge 1\]
在$x=0$时取等，说明这是个极小值，不符合条件

最终就是$a^2>2$了

lemondian

战巡 发表于 2023-6-19 16:21
(1)
右边显然，忽略
\[\frac{d}{dx}(x-x^2-\sin(x))=1-2x-\cos(x)\]

（2）是用极值点的充分条件吧？
是不是要验证三种情况？
$a^2=2,a^2>2,a^2<2$

战巡

lemondian 发表于 2023-6-19 17:14
（2）是用极值点的充分条件吧？
是不是要验证三种情况？
$a^2=2,a^2>2,a^2

不必
对于高阶可导的函数而言，二阶导数为负，直接就能证明其为极大值点

只有二阶导数为零的情况需要额外验证，因为此时不好说是什么点，有可能极大，有可能极小，还有可能根本不是极值

其妙

很简洁！
还有没有其他方法

其妙

如何用第一问的结论？