2023年新高考2卷21题

lemondian

2023年新高考2卷21题：
已知双曲线$C$的中心为坐标原点，左焦点为$(-2\sqrt{5},0)$，离心率为$\sqrt{5}$。
（1）求$C$的方程；
（2）记$C$的左、右顶点分别为$A_1,A_2$，过点$(-4,0)$的直线与$C$的左支交于$M,N$两点，$M$在第二象限，直线$MA_1$与$NA_2$交于点$P$。证明：点$P$在定直线上。
请问：问题（2）可否用极点、极线来说明？

力工

显然 $P$在点$(-4,0)$关于双曲线$C$的极线$x=\frac{a^2}{-4}$上。