$a>0$,对任意的$x\geq a,x^2-a\ln x-x\geq0$恒成立，求a的取值范围.

郝酒

RT，该如何求解呢？

kuing

好像没啥难的呀

令 `f(x)=x^2-a\ln x-x`，则有 `f'(x)=2x-a/x-1`, `f(1)=0`, `f'(1)=1-a`。

假设 `a<1`，则 `1\in(a,+\infty)`, `f(1)=0`, `f'(1)>0`，可知存在 `(1-\veps,1)` 内 `f(x)<0`，不符合要求。

而当 `a\geqslant1` 时，由于 `f'(x)` 递增，对于 `x\geqslant a` 有 `f'(x)\geqslant f'(a)=2a-2\geqslant0`，所以 `f(x)\geqslant f(a)=a(a-\ln a-1)\geqslant0`。

综上即答案为 `a\geqslant1`。

郝酒

kuing 发表于 2023-7-13 17:43
好像没啥难的呀

令 `f(x)=x^2-a\ln x-x`，则有 `f'(x)=2x-a/x-1`, `f(1)=0`, `f'(1)=1-a`。

谢谢ku版，是一道题的中间过程，总想着直接用隐零点把最小值表示出来，陷入了讨论a的深渊，这样处理很清楚。类似于端点效应的处理：）

力工

kuing 发表于 2023-7-13 17:43
好像没啥难的呀

令 `f(x)=x^2-a\ln x-x`，则有 `f'(x)=2x-a/x-1`, `f(1)=0`, `f'(1)=1-a`。

$x=1$是最小值点，我想可以直接在这一点用泰勒，不知是否可行？请问k大大佬。