定三角形三边上作已知角的三角形

hejoseph

已知 $\triangle ABC$ 以及三个角 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$，其中 $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$，求作一点 $P$，使其到直线 $BC$、$CA$、$AB$ 的垂足分别为 $D$、$E$、$F$，且满足 $\angle FDE=\alpha$，$\angle DEF=\beta$，$\angle EFD=\gamma$。

hejoseph

作图问题是这样得到的：若点 $D$、$E$、$F$ 分别在直线 $BC$、$CA$、$AB$ 上，且 $\triangle DEF$ 的三个内角是固定的已知值，$\odot AEF$、$\odot BFD$、$\odot CDE$ 共点于 $P$，那么点 $P$ 是一个定点，与点 $D$、$E$、$F$ 的位置无关。若点 $D$、$E$、$F$ 共线，那么点 $P$ 必定在 $\triangle ABC$ 的外接圆上，这也是 Simson 定理的逆定理。