减压微信群的一道初二几何题

kuing

昨晚的群聊记录：

zhcosin  20:27

最后这个问，45度这个条件咋个用，愣是没看出来，初二的

最后一问去掉无关的东西就是：
点 `B(0,2)`, `C(2,0)`，动点 `E` 在直线 `x=2` 上，直线 `BE` 交 `x` 轴于 `F`，直线 `BE` 绕 `B` 逆时针旋转 `45\du` 交 `x=2` 于 `M`，若 `OF=MF+1`，求 `MF` 的长。

我深夜回复：

kuing  3:01

接下来你应该能搞定了

但刚才据提问者说，初二还没学圆周角，也就是共圆的方法还不能用，那看来这题应该还有更简单嘀方法？我暂时想不出其他方法，你们来瞧瞧。

kuing

应该是源自以下结论：
如下图，若 `\triangle ABC` 的与 `AC` 边相切的旁切圆的圆心为 `D`，则 `2\angle D=\angle BAC`。

这个结论很容易证明。

现在的问题其实是反过来：
如下图，若点 `D` 满足 `2\angle BDC=\angle BAC` 并且 `AD` 平分 `\angle BAC` 的外角，求证 `D` 是旁心。

用我上面共圆的方法也是可以的，就是作 `C` 关于 `AD` 的对称点 `C'`，然后有共圆得到角相等，过程略。

（原题中，点 `B` 就满足 `2\angle MBF=\angle MCF` 且 `BC` 平分 `\angle MCO`）

乌贼

在$ ME$上取一点$ N $使$ BN\px OF $，在$ OC $上取一点$ P $使$ \angle PBF=45\du $，有\[\angle PBO=\angle CBF=\angle NBM \riff\triangle OPB\cong\triangle NMB\riff BM=BP\]因此\[\triangle BMF\cong\triangle BPF\riff MF=PF\]故$ P $为$ OC $中点，得\[MF^2-CF^2=2MF-1=MC^2=9\riff MF=5\]

乌贼

乌贼 发表于 2023-7-22 16:32
ME上取一点N使BN平行OF，在OC上取一点P使∠PBF=45度，有角PBO=角CBF=角NBM。 三角形OPB全等于三角形NBM，有 ...

是三角形OPB全等于三角形NMB

zhcosin

乌贼 发表于 2023-7-22 16:32
在$ ME$上取一点$ N $使$ BN\px OF $，在$ OC $上取一点$ P $使$ \angle PBF=45\du $，有\[\angle PBO=\an ...

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zhcosin

qq群一位昵称为"北京-刘战超"的网友给出了一个漂亮的解法如下

乌贼

zhcosin 发表于 2023-7-23 15:19
qq群一位昵称为"北京-刘战超"的网友给出了一个漂亮的解法如下

实质是构造两个正方形
两颜色三角形全等，令$ CF=x $，有\[ MN=OF-FM=1 \]\[ FM=PM=PN-MN=OF-MN=OC+CF-1=CF+1=x+1 \]在直角$ \triangle MCF $中\[ (x+1)^2-x^2=3^2\riff x=4\riff FM=5 \]