不等式恒成立，求参数的最大值

lemondian

设$x>0$，若$x^3+\dfrac{1}{x^3}+2(\lambda -1)\geqslant \lambda (x+\dfrac{1}{x})$恒成立，求$\lambda $的最大值。

kuing

有难度吗？

其妙

kuing 发表于 2023-8-2 16:56
有难度吗？

第二十届中国东南地区数学奥林匹克第1题😁
本想来一个先必要在充分的，先令$x=1$，结果发现恒等（套路题就是得到$\lambda\leq9$），不行，怀疑乱出的题

kuing

其妙 发表于 2023-8-2 22:47
第二十届中国东南地区数学奥林匹克第1题😁
本想来一个先必要在充分的，先令$x=1$，结果发现恒等（套路题 ...

？一点技巧都不需要啊。

令 `t=x+1/x\ge2`，变成 `t^3-3t+2(\lambda-1)\ge\lambda t`，即 `(t-2)(t+1)^2\ge(t-2)\lambda` 完事。

lemondian

设$x>0,k\geqslant 0,n\inN^*,n\geqslant 2$，若$x^n+\dfrac{1}{x^n}+k\geqslant \dfrac{k+2}{2} (x+\dfrac{1}{x})$恒成立，求$k$的最大值。

其妙

kuing 发表于 2023-8-2 22:52
？一点技巧都不需要啊。

令 `t=x+1/x\ge2`，变成 `t^3-3t+2(\lambda-1)\ge\lambda t`，即 `(t-2)(t+1)^2 ...

原来$x-1=0$是一个零因子，没有约去$x-1$这个零因子（等价于$t-2$这个零因子），就可以使用用先必要再充分了，没用动笔。

其妙

其妙

\begin{aligned}
&x>0\Longrightarrow x^3+\frac1{x^3}=\left(x+\frac1x\right)^3-3\left(x+\frac1x\right)\geq9\left(x+\frac1x\right)-16 \\
&\left(a^3+b^3+a^3b^3\right){\left(\frac1{a^3}+\frac1{b^3}+\frac1{a^3b^3}\right)}+27 \\
&=30+a^3+b^3+\frac1{a^3}+\frac1{b^3}+\frac{b^3}{a^3}+\frac{a^3}{b^3} \\
&\geq30+9\left(a+b+\frac1a+\frac1b+\frac ba+\frac ab\right)-48 \\
&\geq6\left(a+b+\frac1a+\frac1b+\frac ba+\frac ab\right).
\end{aligned}

其妙

lemondian 发表于 2023-8-2 22:52
设$x>0,k\geqslant 0,n\inN^*,n\geqslant 2$，若$x^n+\dfrac{1}{x^n}+k\geqslant \dfrac{k+2}{2} (x+\dfrac ...

有$x-1$这个零因子需要约去😂