用初中知识证三角形全等

走走看看

D在△ABC内部。

要求不用高中知识，如正弦定理，来证明△ACD≌△BCD。

走走看看

显然不能用“边边角”来判定，因为它不是判定定理。

如果沿着CD翻折，按照翻折原理CDB一定与CDA重合，但它不是判定定理。

hbghlyj

走走看看 发表于 2023-8-5 10:37
显然不能用“边边角”来判定，因为它不是判定定理。

在“边边角”中，
如果这个相等的角是锐角，可能全等也可能剩下的边对应的角互补。
如果这个相等的角是钝角，就一定全等（因为互补角中有一个钝角，而三角形不能2个钝角）。

hbghlyj

$\angle CDA=\angle CDB$为锐角，以$A$为中心$CA$为半径的圆与射线$DB$还有个交点$B'$，则1#结论不成立

走走看看

hbghlyj 发表于 2023-8-5 11:18
在“边边角”中，
如果这个相等的角是锐角，可能全等也可能剩下的边对应的角互补。
如果这个相等的角是钝 ...

是的，确实是相等的角都是钝角就是唯一的。但这不是判定定理，不可使用啊。

刚才刷抖音时，刷到了有个人在证明另一道题时，中间步骤正好要证明这个。
他是这样证的：



先证△CGD≌△CHD。

再证△CHA≌△CGB，从而得证。

hbghlyj

走走看看 发表于 2023-8-5 11:39
先证△CGD≌△CHD。 再证△CHA≌△CGB，从而得证。

△CGD≌△CHD和△CHA≌△CGB很容易，但证明△ACD≌△BCD时

AD = AH − DH
BD = BG − DG

这个线段差假定了三点ADH的顺序、三点BDG的顺序相同啊！在4#图中就变成

AD = AH + DH
B'D = DG − B'G

此处三点ADH的顺序、三点B'DG的顺序不同，所以不相等啊！

hbghlyj

走走看看 发表于 2023-8-5 11:39
刚才刷抖音时，刷到了有个人在证明另一道题时，中间步骤正好要证明这个。
他是这样证的：

图中的点$E$好像没有用到吧

走走看看

hbghlyj 发表于 2023-8-5 11:50
本帖最后由 hbghlyj 于 2023-8-5 11:57 编辑 走走看看 发表于 2023-8-5 11:39
先证△CGD≌△CHD。
再证△C ...

4楼是指这种情况吧？

AB=AC，AD=AD，∠D=∠D，
但是 △BAD 、△CAD不全等。

走走看看

hbghlyj 发表于 2023-8-5 11:59
图中的点$E$好像没有用到吧

是的，E没有用到，但延长了后，交点要有个名字才好啊。

走走看看

hbghlyj 发表于 2023-8-5 11:50
本帖最后由 hbghlyj 于 2023-8-5 11:58 编辑 走走看看 发表于 2023-8-5 11:39
先证△CGD≌△CHD。
再证△C ...

要证明 △ACD≌△BCD，可以不看AD、BD。

∠CAD=∠CAH=∠CBG=∠CBD，
∠ADC=∠BDC，所以∠ACD=∠BCD，
又CD=CD，所以  △ACD≌△BCD（ASA）。

hbghlyj

走走看看 发表于 2023-8-5 12:19
要证明 △ACD≌△BCD，可以不看AD、BD。

∠CAD=∠CAH=∠CBG=∠CBD

也假定了三点ADH的顺序、三点BDG的顺序相同啊！在4#图中就变成

∠CAD=∠CAH=∠CB'G=180°-∠CB'D

hbghlyj

走走看看 发表于 2023-8-5 12:01
4楼是指这种情况吧？

1#缺少条件吧，如果条件只有CA=CB、∠CDA=∠CDB，在4#图中△ACD和△B'CD也符合条件，但不全等。

走走看看

hbghlyj 发表于 2023-8-5 12:26
也假定了三点ADH的顺序、三点BDG的顺序相同啊！在4#图中就变成
∠CAD=∠CAH=∠CB'G=180°-∠CB'D
...

∠CDH是∠ADC的外角，当然就在AD的延长线上。

hbghlyj

走走看看 发表于 2023-8-5 12:31
∠CDH是∠ADC的外角，当然就在AD的延长线上。

但在4#图中不是啊

hbghlyj

走走看看 发表于 2023-8-5 09:52
CA=CB、∠CDA=∠CDB
要求不用高中知识，如正弦定理，来证明△ACD≌△BCD。

可以增加条件“D在△ABC内部”，1#就正确了

乌贼

如图：
$ AD $交$ \triangle BDC $外接圆于$ E $，有\[ \angle CBE=\angle CDE=180\du -\angle CDA=180\du -\angle CDB=\angle CEB\riff CE=CB=CA\riff \angle CAD=\angle CED=\angle CBD \]所以\[ \triangle CDA\cong \triangle CDB\riff\angle ACD=\angle BCD \]

hbghlyj

$AC=B'C$、$∠CDA=∠CDB'$
但$△ACD\not≌△B'CD$

乌贼

hbghlyj 发表于 2023-8-5 15:26
$AC=B'C$、$∠CDA=∠CDB'$
但$△ACD\not≌△B'CD$

是的，在$ \triangle ABC $外接圆上不行（除一点外）。
我的问题
是$ \triangle ABC $，$ D、B $在$ AC $两侧，$ \angle ABC+\angle ABD=180\du  $且$ AD=AC $。求证$ ABCD $四点共圆

走走看看

hbghlyj 发表于 2023-8-5 15:26
$AC=B'C$、$∠CDA=∠CDB'$
但$△ACD\not≌△B'CD$

是的，题目加上几个字“如图所示”，或者D在三角形内部，或者两等角是钝角就严谨了。

走走看看

乌贼 发表于 2023-8-5 16:36
是的，在$ \triangle ABC $外接圆上不行（除一点外）。
我的问题
是$ \triangle ABC $，$ D、B $在$ AC $ ...

发现把条件和结论调换一下，可以方便的证明。


$△ABC中，D、B在AC两侧，∠ABC+∠ABD=180°，A、B、C、D四点共圆。求证：AD=AC。$

$这样，由∠ADC=∠ABD=∠ACD可推得 AD=AC。$


$根据这一情况，可以采用同一法证明。$

$设△ABC的外接圆交射线AD于点D'，就可以得到AD'=AC。又AD=AC，所以AD'=AD。$

$而AD、AD'都位于射线AD上，所以 D、D'重合，命题得证。$