sin迭代

hbghlyj

设 $a_0=\frac{\pi}{4}, a_1=\sin a_0, \cdots, a_{n+1}=\sin a_n$, 求证： $$ \frac{1}{\sqrt{3 n+2}} \leqslant a_n \leqslant \sqrt{\frac{5}{n}} $$

O-17

考虑数学归纳法, 只需证明以下两式
\begin{align*}
\sin\sqrt{\frac5n}&<\sqrt{\frac5{n+1}}\\
\sin\frac{1}{\sqrt{3n+2}}&>\frac{1}{\sqrt{3n+5}}
\end{align*}
前一个式子可以利用 $\sin^2x<x^2-\dfrac{x^4}3+\dfrac{2x^6}{45}$ 转化为证明
$$
\frac{45n^2-75n+50}{9n^3}<\frac5{n+1}\Leftrightarrow6n^2+5n-10>0
$$
显然成立, 后一个式子可以利用 $\sin^2x>x^2-\dfrac{x^4}3$ 转化为证明
$$
\frac{9n+5}{27n^2+36n+12}>\frac{1}{3n+5}\Leftrightarrow 24n+13>0
$$
显然成立. $\square$

话说上次在知乎上看到这个 $a_n$ 好像说是 $a_n=\sqrt{\dfrac{3}{n}}+o\left(n^{-\tfrac12}\right)$

链接: zhihu.com/question/419461549/answer/2958046921

hbghlyj

O-17 发表于 2023-8-9 03:24
好像说是 $a_n=\sqrt{\dfrac{3}{n}}+o\left(n^{-\tfrac12}\right)$

这里的 $a_n$ 没有初值 $a_0=\frac\pi4$ 吧. 对任何$t$, $\lim_{n\to\infty}\underbrace{\sin\dots\sin}_nt=0$.
只需证明，不管$\epsilon>0$多么小，只要$t>0$足够小，
$$\frac{t}{\sqrt{1+\frac{n t^2}{3-\varepsilon}}}<\underbrace{\sin\dots\sin}_nt<\frac{t}{\sqrt{1+\frac{n t^2}{3+\varepsilon}}}$$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-8-9 09:16
只需证明，不管$\epsilon>0$多么小，只要$t>0$足够小，
$$\frac{t}{\sqrt{1+\frac{n t^2}{3-\varepsilon}}}<\underbrace{\sin\dots\sin}_nt<\frac{t}{\sqrt{1+\frac{n t^2}{3+\varepsilon}}}$$

因为$\frac{t}{\sqrt{1+\frac{t^2}{3-\varepsilon}}}$作$n$次迭代是$\frac{t}{\sqrt{1+\frac{n t^2}{3-\varepsilon}}}$，只需证
\[\frac{t}{\sqrt{1+\frac{t^2}{3-\varepsilon}}} \leqslant \sin t \leqslant \frac{t}{\sqrt{1+\frac{t^2}{3+\varepsilon}}}\]