Dobiński's formula

hbghlyj

对任意$m,n\inN$, 求证$f(m,n)\inZ$.
$$ f(m,n) = \frac{1}{e} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k^m+1)^n}{k!} $$
例如$f (0, n) = 2n$, $f (m, 0) = 1$.

tommywong

Dobiński's formula
$\displaystyle B_n = {1 \over e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}$

hbghlyj

$k\inN$. 求证$\displaystyle\frac{1}{e} \sum_{x=0}^{\infty}\frac{(x+y)^k}{x!}\inZ[y]$.
当$y=i$时

$k$	$∑(x+i)^k/x!$
0	e
1	(1 + i) e
2	(1 + 2 i) e
3	(2 + 5 i) e
4	(4 + 16 i) e
5	(7 + 56 i) e
6	(7 + 218 i) e
7	(-47 + 937 i) e
8	(-549 + 4376 i) e
9	(-4284 + 22027 i) e

A351745 1,1,2,4,7,7,-47,-549,-4284
A352905 1,2,5,16,56,218,937,4376,22027

hbghlyj

对 $k$ 归纳。
当$k=0$时$(x+y)^k=1$, 所以$1=\frac1e\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(x+y)^k}{x!}$
假设对$k-1$成立，即$\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(x+y)^{k-1}}{x!}\inZ[y]$.
$$\frac{\rmd}{\rmd y} \sum_{x=0}^{\infty}\frac{(x+y)^k}{x!}=k\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(x+y)^{k-1}}{x!}$$
只要$y=0$时$\sum_{x=0}^{\infty}\frac{x^k}{x!}\inZ$就推出$\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(x+y)^k}{x!}\inZ[y]$

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A000110
为什么$\displaystyle\sum_{x=0}^{\infty}\frac{x^k}{x!}$等于 Bell numbers
不懂

hbghlyj

我知道$B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}$满足$B'(x)=e^xB(x)$
为什么$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^k}{n!}=B_k$

tommywong

hbghlyj 发表于 2023-8-14 15:58
我知道$B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}$满足$B'(x)=e^xB(x)$
为什么$\di ...

Dobiński's formula
維基有寫證明，我複製過嚟都冇意思。

kuing

所以这个帖子和昨天 `∑\frac{(k^m+1)^n}{k!}` 那个帖可以合并了吧？

hbghlyj

kuing 发表于 2023-8-14 17:44
所以这个帖子和昨天 `∑\frac{(k^m+1)^n}{k!}` 那个帖可以合并了吧？

唉。。。我起初还以为是两个东西

hbghlyj

kuing 发表于 2023-8-14 17:44
所以这个帖子和昨天 `∑\frac{(k^m+1)^n}{k!}` 那个帖可以合并了吧？

发现合并帖子也会使标题在版块lastpost显示的\丢失
之前只知道移动帖子会丢失\