求一个三元式的最大值

Rachmani

已知正实数$x$、$y$、$z$满足$x^2+y^2+z^2+2xyz=1$，求$x+2y+3z$的最大值。

kuing

已知实数$x$、$y$、$z$满足$x^2+y^2+z^2+2xyz=1$，求$x+2y+3z$的最大值。

变量应该需要有范围，否则取 `z=-1` 且 `x=y\to+\infty` 那么原式无穷大。

Rachmani

kuing 发表于 2023-8-22 22:41
变量应该需要有范围，否则取 `z=-1` 且 `x=y\to+\infty` 那么原式无穷大。

修改：限定为正实数

kuing

Rachmani 发表于 2023-8-22 22:46
修改：限定为正实数

那就可以作三角换元：令 `x=\cos A`, `y=\cos B`, `z=\cos C`，其中 `A`, `B`, `C` 为锐角，那么由条件可得 `A+B+C=\pi`，于是
\begin{align*}
x+2y+3z&=\cos A+2\cos B-3\cos(A+B)\\
&=\cos A+(2-3\cos A)\cos B+3\sin A\sin B\\
&\leqslant\cos A+\sqrt{(2-3\cos A)^2+9\sin^2A}\\
&=\cos A+\sqrt{13-12\cos A},
\end{align*}
易证上式关于 `A` 递增，有 `\cos A+\sqrt{13-12\cos A}<\sqrt{13}`，即原式 `<\sqrt{13}`。

而当 `x\to0`, `y\to\frac2{\sqrt{13}}`, `z\to\frac3{\sqrt{13}}` 时原式 `\to\sqrt{13}`，所以还是没有最大值，而有上界确 `\sqrt{13}`。

Rachmani

kuing 发表于 2023-8-22 23:30
那就可以作三角换元：令 `x=\cos A`, `y=\cos B`, `z=\cos C`，其中 `A`, `B`, `C` 为锐角，那么由条件可 ...

太强了💯感谢