一道几何面积比例问题

yoyo987654

请教各位

kuing

设梯形 `ABCD` 面积为 `S`，则
\begin{align*}
\S{ADC}&=\frac13S,\\
\S{BDC}&=\frac23S,\\
\S{ADN}&=\frac1{1+a}\S{ADC}=\frac1{3(1+a)}S,\\
\S{MDC}&=\frac1{1+a}\S{ADC}+\frac a{1+a}\S{BDC}=\frac{1+2a}{3(1+a)}S,\\
\S{MNC}&=\frac a{1+a}\S{MDC}=\frac{a(1+2a)}{3(1+a)^2}S,\\
S_{\text{阴影}}&=\S{ADN}+\S{MNC}=\left(\frac1{3(1+a)}+\frac{a(1+2a)}{3(1+a)^2}\right)S,
\end{align*}
那占一半就是
\[\frac1{3(1+a)}+\frac{a(1+2a)}{3(1+a)^2}=\frac12\riff a=1+\sqrt2.\]

乌贼

如图：
\[ S_{\triangle ADN}+S_{\triangle MNC}=\dfrac{3}{2}S_{\triangle AED}\riff\dfrac{1}{2}xz+\dfrac{1}{2}\dfrac{(2a+1)x}{a+1}a z=\dfrac{3}{2}\times \dfrac{1}{2}(z+az)x \]化简有\[ a^2-2a-1=0 \]\[ a=\sqrt{2}+1 \]

kuing

回 2# 的点评：
关于 `\S{MDC}=\frac1{1+a}\S{ADC}+\frac a{1+a}\S{BDC}` 这与“定比分点公式”是一个道理。