如何求 $y=x-2\sqrt{x-3}$ 的值域？

APPSYZY

我想到的一个办法：
设函数 $y=x-2\sqrt{x-3}$ 的值域为 $Y,$ 则
\begin{align*}
    y\in Y&\Longleftrightarrow x-2\sqrt{x-3}=y\text{有解}\\
    &\Longleftrightarrow x^2-(4+2y)x+12+y^2=0\text{在}[3,+\infty)\text{上有解}\\
    &\Longleftrightarrow\begin{cases*}
        \Delta_x=4\sqrt{y-2}\ge0\\
        x_+=y+2+2\sqrt{y-2}\ge3
    \end{cases*}\\
    &\Longleftrightarrow y\in[2,+\infty),
\end{align*}
因此值域 $Y=[2,+\infty).$

除了求导，大家有更好更简单的方法吗？有办法利用不等式直接得出结果吗？请教！

kuing

用均值 `1+x-3\geqslant2\sqrt{x-3}` 就好了呗

APPSYZY

kuing 发表于 2023-8-24 22:45
用均值 `1+x-3\geqslant2\sqrt{x-3}` 就好了呗

但是这么写的话，只能说明 $y\ge 2$ 恒成立，但说明不了 $y$ 能够取遍 $\ge 2$ 的所有实数吧

kuing

APPSYZY 发表于 2023-8-24 23:23
但是这么写的话，只能说明 $y\ge 2$ 恒成立，但说明不了 $y$ 能够取遍 $\ge 2$ 的所有实数吧 ...

那显然 x 无穷大时 y 无穷大，加上函数在定义域内连续，那就可以了啊

isee

APPSYZY 发表于 2023-8-24 23:23
但是这么写的话，只能说明 $y\ge 2$ 恒成立，但说明不了 $y$ 能够取遍 $\ge 2$ 的所有实数吧 ...

最小值的定义+函数连续啊，（x->+infty,  y->+infty）

isee

当然，此题更自然的处理方式是换元，化为二次，即设\[\sqrt{x-3}=t\geqslant0,\Rightarrow y=t^2+3-2t,\cdots\]

其妙

又找到了一个容易增加积分的帖子了😁
\[y = x - 2\sqrt {x - 3}  = {(\sqrt {x - 3}  - 1)^2} + 2 \ge 2\]