两个最值问题

Rachmani

$1.$已知$a^2+b^2=1$，求$\displaystyle a+\frac{1}{b+2}$的取值范围。由于没有相关计算软件，不能确定此问题是否为高次方程不可解问题。
$2.$已知正实数$a,b,c$满足$2a^4+b^4+c^4-2b^2c^2-2a^2b^2-2a^2c^2=0$，求$a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)$的最大值。
感谢各位。

isee

第一题，化一元求求导啊，不然怎么知道会不会遇到高次方程呢

Rachmani

isee 发表于 2023-8-26 23:56
第一题，化一元求求导啊，不然怎么知道会不会遇到高次方程呢

求导后分子后出现了七次，吓得直接扔了

kuing

2. 记 `x=a^2`, `y=b^2`, `z=c^2`，条件可化为
\begin{align*}
4yz&=2x^2+(y+z)^2-2x(y+z)\\
&\geqslant\bigl(2\sqrt2-2\bigr)x(y+z),
\end{align*}
所以
\[x\left(\frac1y+\frac1z\right)\leqslant\frac2{\sqrt2-1}=2\sqrt2+2,\]
取等略。

Rachmani

感谢(≧∇≦)