$f-f^{-1}$

hbghlyj

$f(x)=x+\frac{a}2$满足$f(x)-f^{-1}(x)=a$.
问题:有没有其它函数$f(x)$满足$f(x)-f^{-1}(x)=a$.
来源:exp(x)-log(x)>√5

Czhang271828

给定递推式 $f(x)-f^{-1}(x)=a$, 任取 $x_0\in \mathbb R$, 有下表
$$
\begin{align*}
\begin{matrix}
f^{-1}(x)&x&f(x)\\
\hline
f(t)-a&t&f(t)\\
t-a&f(t)-a& t\\
f(t)-2a&t-a&f(t)-a\\
t-2a&f(t)-2a&t-a\\
f(t)-3a&t-2a&f(t)-2a\\
\ddots&\ddots&\ddots
\end{matrix}
\end{align*}
$$
定义 $S(t):=\{t-ka,f(t)-ka\mid k\in \mathbb Z\}$, 从而 $\mathbb R$ 是若干 $S(t)$ 的无交并, 且 $f$ 是商空间 $\mathbb R+a\mathbb Z$ 上的双射即可.