一道数列比赛题目

yoyo987654

请教思路

Czhang271828

\begin{align*}
&\quad\,\,\gcd(n^3-4,(n+1)^3-4)\\[5pt]
&=\gcd(n^3-4,3n^2+3n+1)\\[5pt]
&=\gcd(3n^3-12,3n^2+3n+1)\\[5pt]
&=\gcd(-3n^2-n-12,3n^2+3n+1)\\[5pt]
&=\gcd(2n-11,3n^2+3n+1)\\[5pt]
&=\gcd(2n-11,6n^2+6n+2)\\[5pt]
&=\gcd(2n-11,33n+35)\\[5pt]
&=\gcd(2n-11,n+211)\\[5pt]
&=\gcd(433,n+211)\\[5pt]
\end{align*}

注意到 $433$ 是质数. 除了 $\gcd((222+433k)^3-4,(223+433k)^3-4)=433$, 其余情况 $\gcd(n^3-4,(n+1)^3-4)=1$.