分享：$y=a^x$与y=x相切，求a

realnumber

a>1,居然可以解出一个值.

kuing

由 `e^x=e\cdot e^{x-1}\geqslant ex` 可知 `y=e^x` 与 `y=ex` 相切，
拉伸变换一下，就是 `y=e^{x/e}` 与 `y=x` 相切，
也就是 `y=(e^{1/e})^x` 与 `y=x` 相切，即 `a=e^{1/e}`。

realnumber

kuing 发表于 2023-9-5 17:01
由 `e^x=e\cdot e^{x-1}\geqslant ex` 可知 `y=e^x` 与 `y=ex` 相切，
拉伸变换一下，就是 `y=e^{x/e}` 与  ...

这个解释好

isee

源自知乎提问

问：指数函数 y=aˣ 与 y=x 相切，求 a 的值与切点坐标.

容易求得函数 $y=\frac{\ln x}x$ 的最大值为 $y(\mathrm e)=\frac1{\mathrm e}$ 即有 \begin{gather*}
\frac{\ln x}x\leqslant \frac1{\mathrm e}\iff x\geqslant \ln x^{\mathrm e},\\[1ex]
\iff \mathrm e^x\geqslant x^\mathrm e \iff \big(\mathrm e^{\frac1{\mathrm e}}\big)^x\geqslant x,
\end{gather*}结合 $y=a^x$ 的凹凸性断言： $y=x$ 与 $y=\big(\mathrm e^{\frac1{\mathrm e}}\big)^x$ 相切于 $\big(\mathrm e,\mathrm e\big)$ .