2023新高考1卷圆锥曲线题的椭圆变形

郝酒

已知椭圆$W:\frac{x^2}{8}+y^2=1$，矩形$ABCD$有三个顶点在$W$上，记$L$为矩形$ABCD$的周长，求证$L>\frac{16\sqrt{3}}{9}$.
想按高考题的思路算，奈何是椭圆，点的坐标不好相互表出，三角换元也很复杂.

lemondian

不妨推广一下：
已知椭圆$W:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，有三个顶点在$W$上的矩形的周长记为$L$。当$a\leqslant \sqrt{2}b$时，则$L>4b$；当$a>\sqrt{2}b$时，则$L>\dfrac{6\sqrt{3}a^2b^2}{(a^2+b^2)^\frac{3}{2}}$。

可是我不会证。
找@kuing 帮下忙吧

郝酒