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Last edited by hbghlyj 2025-5-16 04:12anirdesh.com/math/algebra/hyperbola-tangents.php
对于双曲线
$$
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
$$
从平面上一点 $P(x_1,y_1)$ 所能做出的切线条数，取决于该点相对于双曲线主支所在区域（两条渐近线之间的“中心区”）的位置。
- 若点 $P$ 落在两条渐近线所围区域内，即
$$
\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}<1,
$$
则可作两条实切线。 - 若点 $P$ 在双曲线上，即
$$
\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1,
$$
则只作出一条重合切线。 - 若点 $P$ 在双曲线两支之外，即
$$
\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}>1,
$$
则无法作出任何实切线。
证明
1. 双曲线与切线的方程
- 双曲线的标准形式
$$
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
$$
是中心在原点、横轴长度 $2a$、纵虚轴长度 $2b$ 的双曲线。 - 一般点处的切线方程
对该双曲线在 $(x_0,y_0)$ 处隐式求导，可得切线
$$
\frac{x_0}{a^2}x -\frac{y_0}{b^2}y =1.
$$
或写为
$$
xx_0/a^2 -yy_0/b^2=1.
$$
这是通过已知切点写出的切线形式。 - 斜截式与判定条件
也可令切线形如
$$
y=mx+c,
$$
它恰好与双曲线有唯一交点（即为切线）的充要条件是
$$
c^2 = a^2m^2 - b^2.
$$
由此，任意斜率 $m$ 下的切线常数项 $c$ 满足此关系才能“切”到双曲线。
2. 经过 $P(x_1,y_1)$ 的切线条件
将 $P$ 代入 $y=mx+c$，得到
$$
c=y_1 - m x_1.
$$
代入切线判别式 $c^2=a^2m^2 - b^2$，可化为关于 $m$ 的二次方程：
$$
(x_1^2 - a^2)\,m^2 -2x_1y_1\,m +(y_1^2 + b^2) =0.
$$
此方程的判别式为
$$
\Delta =4\bigl[a^2(y_1^2 + b^2)-b^2x_1^2\bigr].
$$
当且仅当 $\Delta\ge0$ 时，有实数解 $m$，即能作出切线。
3. 切线条数的判定
- 两条切线：若 $\Delta>0$，则二次方程有两个不同实根，故有两条切线，对应的条件是
$$
a^2(y_1^2 + b^2)-b^2x_1^2>0
\quad\Longleftrightarrow\quad
\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}<1.
$$
即点 $P$ 位于两条渐近线之间。 - 一条切线：若 $\Delta=0$，则有重根，对应唯一切线，条件为
$$
a^2(y_1^2 + b^2)-b^2x_1^2=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1,
$$
即 $P$ 恰在双曲线上。 - 零条切线：若 $\Delta<0$，则无实根，不存在切线，条件为
$$
a^2(y_1^2 + b^2)-b^2x_1^21,
$$
即 $P$ 位于双曲线两支之外。
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