平面区域内的整点个数

青青子衿

1.区域x^2+y^2+2x+4y-4≤0内的整点个数
2.任意线性平面区域内的整点个数能否结合皮克公式得出？

realnumber

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1.数据那么小，$(x+1)^2+(y+2)^2\le 9$,可得$-3\le x+1\le3,-3\le y+2\le 3$,
要不49个数据逐个代入？x+1=0，y+2=±3,±2,±1,0;x+1=±1,±2,y+2=±2,±1,0;
x+1=±3,y=0;所以一共有29个整点.
2.百度了下，皮克公式需要顶点为整点，没看出两者联系.

hbghlyj

en.wikipedia.org/wiki/Gauss_circle_problem
高斯圆问题（英语：Gauss circle problem）问以原点为中心，$r$为半径的圆内，有多少个整数点。平均而言，每个单位正方形包含一个格子点。因此，点数$N(r)$与圆的面积$\pi r^2$相近，因此，真正的问题是如何准确地描述点数与面积的差异$|E(r)|$其中$$N(r)=\pi r^{2}+E(r)$$注意$r$不必是整数。在$N(4)=49$之后有$N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.$在这些地方$E(r)$增加，之后它减少（以$2\pi r$），直到下一次增加为止。

高斯设法证明$|E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.$
谢尔品斯基将指数改进至2/3，以大O符号表示，即证明$|E(r)|=O(r^{2/3})$，约翰内斯·范德科皮特引进了他关于外尔和的估计，从而证明了指数为37/56的结果（此数略小于2/3）。以后不少数学家改进这一结果。中国数学家华罗庚与陈景润分别证得指数为13/20与24/37的上界。

$N(r)$的值可以由幾個形式給出，例如以"下取整函數"表示成以下和式： (D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, ''Geometry and the Imagination'', pp.37-38)$$N(r)=1+4\sum_{i=0}^\infty \left(\left\lfloor\frac{r^2}{4i+1}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{r^2}{4i+3}\right\rfloor\right).$$這是雅可比二平方和定理(Sum of two squares theorem)的結果，該定理來自雅可比三重積(Jacobi triple product)。