CA⊥=CB,AD平分∠A,CD⊥AD∥BF,ΔABC外接圆切线交AD于H,FE⊥BH,交AB,AD于G,I,证:AI=GI

zhiwen

如图，
已知\(\triangle ABC\)是等腰直角三角形,
且A,B,C皆在\(\bigcirc ABC\)上，
\(AD平分\angle BAC\),
且\(AD\perp CD\)，
\(CD\perp BF\)垂足F，
过C作\(\bigcirc ABC\)的切线与AD交于H,
连结BH，
作\(BH\perp EF\)垂足E,
EF交AB于G,交AD于I，
连结GI，AI
求证\(AI=GI\)

kuing

由条件易知 `CH\px AB`，得 `\angle CHA=\angle BAH=\angle CAH`，所以 `CH=CA=CB`，即 `A`, `B`, `H` 在以 `C` 为圆心、`CA` 为半径的圆上，如下图。

则 `\angle BHA=\angle BCA/2=45\du`，而 `BF\px HA`，所以 `\angle EBF=45\du`，因此 `\triangle EBF` 也是等腰直角三角形。

由 `\angle HCB=\angle CBA=45\du` 得 `\angle CBH=67.5\du`，则 `\angle FBG=180\du-\angle CBH-\angle CBA-\angle EBF=180\du-67.5\du-45\du-45\du=22.5\du`，进而 `\angle IGA=\angle FGB=\angle EFB-\angle FBG=45\du-22.5\du=22.5\du=\angle IAG`，所以 `IG=IA`。