如何确定该命题背后的平面几何性质

snowblink

如图，对于椭圆 $ \dfrac {x^ {2}}{a^ {2}} +  \dfrac {y^ {2}}{b^ {2}} (a>b>0)$ 外的一点$A(  x_ {0}  ,  y_ {0} $ )( $ x_ {0}  y_ {0} $ $ \neq 0$ )作椭圆的切线交$x$轴于点$D，E$，点$B,C$分别椭圆的上，下顶点，直线$AB,AC$分别交$x$轴于点$F，G$，则有$DF=GE$.
用解析法是容易证明的，但尝试过后发现将上下顶点换成左右顶点，切线交点换成在y轴上后结论依然成立
并且对双曲线也是成立的，所以猜测跟圆锥曲线并无太大关系
想请教一下背后存在的平面几何知识
（帖子标签我也不太懂该用什么了）

kuing

我发现还可以是共轭直径：

如图，BC 和 MN 为圆锥曲线的一对共轭直径，然后其他线照原题那样作，同样也有那两段长度相等。

背景待研究……

abababa

kuing 发表于 2023-11-14 11:53
我发现还可以是共轭直径：

如图，BC 和 MN 为圆锥曲线的一对共轭直径，然后其他线照原题那样作，同样也有 ...

maven的证明：
换成对称的记号容易看出来。下面按你的原图重新标记点 (A,D,F,G,E) -> (P,A_1,A_2,A_3,A_4)，设 (A_1A_2, A_3A_4, A_2A_3) = (a, b, t)。因为存在射影变换将 Gamma 变为单位圆，且使得 Gamma 上的任意三点变为圆上指定三点，于是你可以要求 (B,C,T) -> ((0,1),(0,-1),(-1,0))，其中 T 是 PA_1 切 Gamma 的切点。此时 P 在直线 x = -1 上，设 P = (-1,p)，共轭直径关系不变，从而变换前 A_1A_2A_3A_4 上的无穷远点是 BC 的极点，是无穷远点，变换后 A_1A_2A_3A_4 上的无穷远点仍是 BC 的极点，它仍为无穷远点，设为 N。

下面计算交比 (A_1A_3,A_2N) = -a/t，(A_4A_2,A_3N) = -b/t，要证明的是 a = b，所以你只要证明这两个交比相等。经变换后在圆中的所有交点都易求，从而证明问题。