求证四面体四个顶点角正弦平方和小于自然对数e

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四面体 $A_0 A_1 A_2 A_3$ 的顶点 $A_0$ 的顶点角正弦定义为
\[
\sin A_0=\sqrt{\left|\begin{array}{ccc}
1 & \cos \angle A_1 A_0 A_2 & \cos \angle A_1 A_0 A_3 \\
\cos \angle A_1 A_0 A_2 & 1 & \cos \angle A_2 A_0 A_3 \\
\cos \angle A_1 A_0 A_3 & \cos \angle A_2 A_0 A_3 & 1
\end{array}\right|} \]求证\[\sin ^2 A_0+\sin ^2 A_1+\sin ^2 A_2+\sin ^2 A_3<e
\]