垂径相关的证明题

星奔川骛

已知:△ABC外接圆直径FG⊥BC于D,AE⊥FG于E。
求证：
`GE\cdot DF=(AB+AC)^2/4`；
`EF\cdot GD=(AB-AC)^2/4`。

kuing

易知
\[DG=R-R\cos A,\]
则
\[DF=R+R\cos A,\]
又
\[DE=h_a=\frac{2S}a,\]
所以
\begin{align*}
GE\cdot DF&=(GD+DE)\cdot DF\\
&=DB\cdot DC+DE\cdot DF\\
&=\frac14a^2+\frac{2S}a\cdot(R+R\cos A)\\
&=\frac14a^2+\frac{bc}2(1+\cos A)\\
&=\frac14a^2+\frac{bc}2+\frac{b^2+c^2-a^2}4\\
&=\frac14(b+c)^2;
\end{align*}
另一个也类似：
\begin{align*}
EF\cdot GD&=(DF-DE)\cdot GD\\
&=DB\cdot DC-DE\cdot GD\\
&=\frac14a^2-\frac{2S}a\cdot(R-R\cos A)\\
&=\frac14a^2-\frac{bc}2(1-\cos A)\\
&=\frac14a^2-\frac{bc}2+\frac{b^2+c^2-a^2}4\\
&=\frac14(b-c)^2.
\end{align*}