锐角三角形取值范围问题

xianjian

锐角三角形ABC中，A=60度，边a=6，求b+c的取值范围。
请教这个问题，用余弦定理加基本不等式可以求最大值，但是不能解决下限。
怎么求下限，请指点！

xianjian

用正弦定理的方法会

kuing

由余弦定理得 `a^2=b^2+c^2-bc`。

由锐角三角形得 `a^2+b^2>c^2`，即 `b^2+c^2-bc+b^2>c^2`，化简得 `2b>c`，同理可得 `2c>b`，那么
\begin{align*}
a^2&=b^2+c^2-bc\\
&=\frac13(b+c)^2-\frac13(2b-c)(2c-b)\\
&<\frac13(b+c)^2,
\end{align*}
所以 `b+c>\sqrt3a=6\sqrt3`，当 `B` 或 `C` 趋向直角时 `b+c\to\sqrt3a`，所以这就是下确界。

xianjian

kuing 发表于 2023-12-2 23:28
由余弦定理得 `a^2=b^2+c^2-bc`。

由锐角三角形得 `a^2+b^2>c^2`，即 `b^2+c^2-bc+b^2>c^2`，化简得 `2b>c ...

谢谢！