求证四面体内切球和侧面内切圆的不等式

lihpb

hejoseph

直接权方和不等式得了，假设点 $A_i$ 所对的四面体面的面积为 $S_i$，四面体体积为 $V$，由
\begin{align*}
r&=\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}\\
r_1&=\frac{3V}{-S_1+S_2+S_3+S_4}\\
r_2&=\frac{3V}{S_1-S_2+S_3+S_4}\\
r_3&=\frac{3V}{S_1+S_2-S_3+S_4}\\
r_4&=\frac{3V}{S_1+S_2+S_3-S_4}\\
\end{align*}
因此
\begin{align*}
r_1^2+r_2^2+r_3^2+r_4^2&=9V^2\cdot\left(\frac{1}{(-S_1+S_2+S_3+S_4)^2}+\frac{1}{(S_1-S_2+S_3+S_4)^2}+\frac{1}{(S_1+S_2-S_3+S_4)^2}+\frac{1}{(S_1+S_2+S_3-S_4)^2}\right)\\
&\geqslant 9V^2\cdot\frac{(1+1+1+1)^3}{((-S_1+S_2+S_3+S_4)+(S_1-S_2+S_3+S_4)+(S_1+S_2-S_3+S_4)+(S_1+S_2+S_3-S_4))^2}\\
&=9V^2\cdot\frac{4^3}{(2(S_1+S_2+S_3+S_4))^2}\\
&=16r^2
\end{align*}
当且仅当四面体对棱相等时取得等号。由上面的不等式就直接得到你要证明的不等式了。

kuing

hejoseph 发表于 2023-12-3 20:52
直接权方和不等式得了，假设点 $A_i$ 所对的四面体面的面积为 $S_i$，四面体体积为 $V$，由
\begin{align*} ...

楼主说的 `r_i` 是面的内切圆，不是旁切球喔

kuing

我怀疑 `r_1+r_2+r_3+r_4\geqslant4\sqrt2r` 也成立。

lihpb

kuing 发表于 2023-12-4 17:35
我怀疑 `r_1+r_2+r_3+r_4\geqslant4\sqrt2r` 也成立。

那你能证明吗？

这个你要是证不出来的话就帮我看看下面这个能不能够找到反例，
forum.php?mod=viewthread&tid=11802&extra=
这会比较简单一点，构造任意四面体看能不能找到反例

lihpb

hejoseph 发表于 2023-12-3 20:52
直接权方和不等式得了，假设点 $A_i$ 所对的四面体面的面积为 $S_i$，四面体体积为 $V$，由
\begin{align*} ...

这个你要是证不出来的话就帮我看看下面这个能不能够找到反例，
forum.php?mod=viewthread&tid=11802&extra=

这会比较简单一点，构造任意四面体看能不能找到反例

lihpb

kuing 发表于 2023-12-4 17:35
我怀疑 `r_1+r_2+r_3+r_4\geqslant4\sqrt2r` 也成立。

确实是成立的，
更强的形式在这里
forum.php?mod=viewthread&tid=12547