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直接权方和不等式得了，假设点 $A_i$ 所对的四面体面的面积为 $S_i$，四面体体积为 $V$，由
\begin{align*}
r&=\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}\\
r_1&=\frac{3V}{-S_1+S_2+S_3+S_4}\\
r_2&=\frac{3V}{S_1-S_2+S_3+S_4}\\
r_3&=\frac{3V}{S_1+S_2-S_3+S_4}\\
r_4&=\frac{3V}{S_1+S_2+S_3-S_4}\\
\end{align*}
因此
\begin{align*}
r_1^2+r_2^2+r_3^2+r_4^2&=9V^2\cdot\left(\frac{1}{(-S_1+S_2+S_3+S_4)^2}+\frac{1}{(S_1-S_2+S_3+S_4)^2}+\frac{1}{(S_1+S_2-S_3+S_4)^2}+\frac{1}{(S_1+S_2+S_3-S_4)^2}\right)\\
&\geqslant 9V^2\cdot\frac{(1+1+1+1)^3}{((-S_1+S_2+S_3+S_4)+(S_1-S_2+S_3+S_4)+(S_1+S_2-S_3+S_4)+(S_1+S_2+S_3-S_4))^2}\\
&=9V^2\cdot\frac{4^3}{(2(S_1+S_2+S_3+S_4))^2}\\
&=16r^2
\end{align*}
当且仅当四面体对棱相等时取得等号。由上面的不等式就直接得到你要证明的不等式了。 |
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hejoseph
Posted 2023-12-3 20:52
kuing
Posted 2023-12-3 21:20
