KK大神给看看这个题的（2））

周亚明

kuing

别说（2），我看（1）也不简单，初看以为是顶点处取最值，细想觉得不一定，用软件画图看果然当椭圆比较扁的时候最小值不在顶点取，看来没点计算量可搞不定……🤔

hejoseph

第一问：若点 $P$ 为 $(a\cos\theta,b\cos\theta)$，则
\begin{align*}
|AB|&=2\sqrt{\frac{a^4+b^4-(a^4-b^4)\cos 2\theta}{a^2+b^2-(a^2-b^2)\cos 2\theta}}\\
|PQ|&=ab\cdot\frac{\sqrt{2(a^2+b^2-(a^2-b^2)\cos 2\theta)^3}}{a^4+b^4-(a^4-b^4)\cos 2\theta}
\end{align*}
可得
\[
\left(\frac{|PQ|}{|AB|}\right)^2=a^2b^2\cdot\frac{(a^2+b^2-(a^2-b^2)\cos 2\theta)^4}{2(a^4+b^4-(a^4-b^4)\cos 2\theta)^3}
\]
令上式右边为 $f(\theta)$，那么
\[
f'(\theta)=a^2b^2(a^2-b^2)\cdot\frac{(a^2+b^2-(a^2-b^2)\cos 2\theta)^3(a^4-6a^2b^2+b^4-(a^4-b^4)\cos 2\theta)\sin 2\theta}{(a^4+b^4-(a^4-b^4)\cos 2\theta)^4}
\]
从上式可知，具体不同的 $a$、$b$ 得到的最大最小值点并不相同，并不一定是顶点。

第二问表达式很复杂，有可能无简单结论，我没继续做了。

hejoseph

上面那两个距离公式我专门验证过，是没问题的：

hejoseph

第一问可以再引申一个问题：椭圆离心率在什么范围内比值最值不是顶点？

周亚明

hejoseph 发表于 2023-12-4 16:52
第一问可以再引申一个问题：椭圆离心率在什么范围内比值最值不是顶点？

谢谢！