前天微信网友问的“控制函数”

kuing

网友说这题是今年上海春考压轴题。

可是我觉得 “且对所有的函数 `y=g(x)` 取最小值定义为 `\bar f(x)`” 这句话是不是有语病呀，虽然我知道他想表达什么，不知是不是抄错还是啥。

按我理解的意思应该这样说：对于取定的 `x_0`，当 `g(x)` 取遍所有 `f(x)` 的“控制函数”时 `g(x_0)` 的最小值就定义为 `\bar f(x_0)`。

第（1）（2）问就略了，只写（3）：

首先分解因式得
\[f(x)=(x-1)(ax^2-x),\]
由切线过 `(1,0)` 可设其方程为 `y=t(x-1)`，由 `x_0` 是切点可知方程 `f(x)-t(x-1)=0` 有二重根 `x=x_0`，因此必有
\[f(x)-t(x-1)=a(x-1)(x-x_0)^2,\]
即 `ax^2-x-t=a(x-x_0)^2`，展开对比系数得 `2ax_0=1`, `ax_0^2=-t`，所以
\[x_0=\frac1{2a},~t=-\frac1{4a}.\]
现在取
\[g(x)=-\frac1{4a}(x-1),\]
由上知 `f(x)-g(x)=a(x-1)(x-x_0)^2\leqslant0`，故此 `g(x)` 是 `f(x)` 的“控制函数”，且 `f(1)=g(1)`, `f(x_0)=g(x_0)`，所以当 `c=1` 或 `c=x_0` 时 `\bar f(c)=f(c)`。

现在假设存在 `x_0<c<1` 满足 `\bar f(c)=f(c)`，即存在另一个 `g(x)=kx+m` 满足 `f(x)\leqslant g(x)`（`\forall x\in[0,1]`）并且 `f(c)=g(c)`，那么 `g(x)` 只能是 `f(x)` 在 `x=c` 处的切线，即
\[g(x)=f'(c)(x-c)+f(c),\]
代入 `x=1` 化简得
\begin{align*}
g(1)&=\bigl(3ac^2-2(a+1)c+1\bigr)(1-c)+(c-1)(ac^2-c)\\
&=\bigl(2ac^2-(2a+1)c+1\bigr)(1-c)\\
&=-(2ac-1)(1-c)^2,
\end{align*}
而 `c>x_0` 即 `2ac>1`，所以 `g(1)<0=f(1)`，这就不满足控制的条件了，所以这样的 `c` 不存在。

综上所述，命题得证。

kuing

前半部分如果不想涉及“二重根”的表述，也可以像下面这样写（这也是网友的写法（经我略为改写））：
\begin{align*}
f(x)&=x(x-1)(ax-1),\\
f'(x)&=3ax^2-2(a+1)x+1,
\end{align*}
因为切线过 `(1,0)` 且斜率为 `f'(x_0)`，所以切线方程为
\[y=\gamma(x)=f'(x_0)(x-1)=\bigl(3ax_0^2-2(a+1)x_0+1\bigr)(x-1),\]
而 `\gamma(x_0)=f(x_0)`，即
\[\bigl(3ax_0^2-2(a+1)x_0+1\bigr)(x_0-1)=x_0(x_0-1)(ax_0-1),\]
整理得
\[2ax_0^2-(2a+1)x_0+1=0\riff(2ax_0-1)(x_0-1)=0,\]
而 `x_0\ne1`，则 `2ax_0=1`，代回去化简得
\[\gamma(x)=-\frac1{4a}(x-1),\]
作差分解得
\[f(x)-\gamma(x)=x(x-1)(ax-1)+\frac1{4a}(x-1)=a(x-1)\left(x-\frac1{2a}\right)^2\leqslant0,\]
所以 `\gamma(x)` 是“控制函数”，且 `\gamma(x_0)=f(x_0)`, `\gamma(1)=f(1)`，所以 `\bar f(x_0)=f(x_0)`, `\bar f(1)=f(1)`。