一道在圆某个性质上的推广的题目

青青子衿

圆的任意一条弦被与其垂直的直径平分。
是否存在过一定点，作曲线任意一条弦的垂线，将弦分为两段，其长度比例恒为定值的曲线。

kuing

只有圆弧这种曲线满足要求，道理很简单：
假设曲线 `\Gamma` 满足条件，对应的定点是 `O`，比例是 `t`，在 `\Gamma` 上取弦 `AB`，在弦上取 `C` 使之分弦成比例 `t`。
现在固定 `A`，运动 `B`，则 `C` 的轨迹是一条与 `\Gamma` 相似的曲线 `\Gamma'`，依题意，`\Gamma'` 上的点 `C` 均满足 `OC\perp CA`，可见 `\Gamma'` 必定是圆弧，从而 `\Gamma` 也是圆弧。