如果 n （n≥6）个素数是等差数列，且第一项 p1≥7，则公差一定是 30 的倍数。

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证明：
如果 n （n≥5）个素数是等差数列，且第一项 p1≥7，则公差一定是 30 的倍数。

例如：
n=8 时有  17，6947，13877，20807， 27737，34667，41597，48527 是公差为 6930 的等差素数列。
n=8 时有  17，86117，172217，258317， 344417，430517，516617， 602717 是公差为 86100 的等差素数列。
......
n=8 时有  29，944399， 1888769， 2833139， 3777509，4721879，5666249，6610619 是公差为 944370 的等差素数列。

n=9 时有  17，6947，13877，20807， 27737，34667，41597，48527, 55457 是公差为 6930 的等差素数列。

以上例子中，公差都是 30 的倍数。

TSC999

当 n=24 时，有下面这个全是等差素数的数列：
第 1 项 = 468395662504823
第 2 项 = 514267795341353
第 3 项 = 560139928177883
第 4 项 = 606012061014413
第 5 项 = 651884193850943
第 6 项 = 697756326687473
第 7 项 = 743628459524003
第 8 项 = 789500592360533
第 9 项 = 835372725197063
第 10 项 = 881244858033593
第 11 项 = 927116990870123
第 12 项 = 972989123706653
第 13 项 = 1018861256543183
第 14 项 = 1064733389379713
第 15 项 = 1110605522216243
第 16 项 = 1156477655052773
第 17 项 = 1202349787889303
第 18 项 = 1248221920725833
第 19 项 = 1294094053562363
第 20 项 = 1339966186398893
第 21 项 = 1385838319235423
第 22 项 = 1431710452071953
第 23 项 = 1477582584908483
第 24 项 = 1523454717745013

其公差为 45872132836530，也是 30 的倍数。

TSC999

上面两个猜想如何证明？

TSC999

提供一个验证小程序：

1. Clear["Global`*"];(*n=6*)
2. p = 3;(*无解*)p = 5;(*无解*)p = 7;(*公差是30的倍数*)
3. Do[
4. If[ PrimeQ[p + d]  &&  PrimeQ[p + 2 d] &&  PrimeQ[p + 3 d] &&  
5.    PrimeQ[p + 4 d] &&  PrimeQ[p + 5 d], Print[d, ",  p+d = ", p + d]],
6. {d, 1, 10000}]

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睡神

我很菜，但我想试一试，即使有99.99%的可能会错😁

记$ a^\otimes $为$ 5 $除$ a $的余数，则$ a^\otimes \in \{0,1,2,3,4\}$

由$ p_i $为素数，且$ p_i\ge7 $，得$ \forall i\in N^*,\exists m\in N^* $，使得$ p_i=6m\pm1 $

设$ \{p_n\}$的公差为$ d $，则$ 6|d $

假设$ 5\nmid d $

$ \forall i,j\in \{1,2,3,4,5\},j>i $，则$ p_j-p_i=d(j-i) ​$

显然$ 5\nmid d(j-i) $，此时 $ p_j^\otimes\ne p_j^\otimes $

所以$\forall i\in \{1,2,3,4,5\},p_i^\otimes $取尽$ \{0,1,2,3,4\} $中的每一个数

所以$\exists i\in \{1,2,3,4,5\},5|p_i$与素数矛盾

所以$ 5|d $，所以$ 30|d $