如何在一个凸四边形内作一点，将四边形四等分？

TSC999

如何在一个凸四边形 ABCD 内作一点 P，使 △ABP、△BCP、△CDP、△DAP 面积相等。
此题一定有解还是不一定有解？

kuing

凭直觉不一定有解，要满足四个面积相等就是要满足 3 条方程，但点 P 的自由度是 2。

战巡

如果要$\Delta ABP$和$\Delta BCP$面积相等，这个$P$点必然会在$\Delta ABC$的$AC$边中线上

同理要想让$\Delta CDP$和$\Delta DAP$面积相等，$P$得在$\Delta DAC$的$AC$边中线上

这两者的交点，即$AC$的中点，即为$P$点唯一的可能位置，然而这个点无法保证$\Delta ABP$和$\Delta CDP$面积相等，因此在绝大多数情况下是无解的

kuing

战巡 发表于 2024-1-9 16:27
如果要$\Delta ABP$和$\Delta BCP$面积相等，这个$P$点必然会在$\Delta ABC$的$AC$边中线上

同理要想让$\D ...

嗯，因此结论就是：
这样的 P 存在当且仅当该四边形的一条对角线经过另一对角线的中点。

具体的 P 位置也是简单的，如果是 AC 经过 BD 的中点，那 P 就是 AC 中点。