角平分线BE,CD交于O，且OD+BD=OE+CE，是否是等腰。想找到反例。

abababa

三角形ABC, BE,CD为角B和角C平分线,分别交AC于E,AB于D, BE和CD相交于O,若DO+BD=OE+EC,问AB=AC是否成立? 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由。

如图，以前存的一道题，没解出来，现在感觉命题不成立，想用Mathematica找到一个反例。
原命题：$\triangle ABC$中，$BE,CD$都是角平分线，两线交于$O$，若$OD+BD=OE+CE$，证明或否定$AB=AC$。

这个我设$OD=x_1,OE=x_2,BD=y_1,CE=y_2,\angle DOB=\alpha,\angle DBO=t_1,\angle ECO=t_2$，然后我用Mathematica求解方程，用的是FindInstance

1. FindInstance[x1/Sin[t1]==y1/Sin[alpha]&&x2/Sin[t2]==y2/Sin[alpha]&&x1+y1==x2+y2&&2t1+2t2<Pi&&x1>0&&x2>0&&y1>0&&y2>0&&t1>0&&t2>0&&alpha>0]

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给出一个解是

\[\text{alpha}\to \frac{9}{11},\text{t1}\to \frac{46}{65},\text{t2}\to \frac{33}{118},\text{x1}\to 57,\text{x2}\to \frac{57 \sin \left(\frac{33}{118}\right) \left(1+\sin \left(\frac{9}{11}\right) \csc \left(\frac{46}{65}\right)\right)}{\sin \left(\frac{9}{11}\right)+\sin \left(\frac{33}{118}\right)},\text{y1}\to 57 \sin \left(\frac{9}{11}\right) \csc \left(\frac{46}{65}\right),\text{y2}\to \frac{57 \left(\sin \left(\frac{9}{11}\right)+\sin ^2\left(\frac{9}{11}\right) \csc \left(\frac{46}{65}\right)\right)}{\sin \left(\frac{9}{11}\right)+\sin \left(\frac{33}{118}\right)}\]

数值解是：
\[\text{alpha}\to 0.818182,\text{t1}\to 0.707692,\text{t2}\to 0.279661,\text{x1}\to 57.,\text{x2}\to 33.2023,\text{y1}\to 63.9989,\text{y2}\to 87.7966\]
但这个画出来感觉不太一样，是不是哪里弄错了？

色k

`\alpha=t_1+t_2` 啊

色k

其实用角平分线长公式及角平分线定理就可以找到啦：

1. wb = Sqrt[a c (a + b + c) (a + c - b)]/(a + c);
2. wc = Sqrt[a b (a + b + c) (a + b - c)]/(a + b);
3. BD = c*a/(a + b);
4. CE = b*a/(a + c);
5. OD = wc*BD/(BD + a);
6. OE = wb*CE/(CE + a);
7. FindInstance[
8. OD + BD == OE + CE && a + b > c && b + c > a && c + a > b &&
9.   b > c, {a, b, c}]
10. N[%]

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输出：
\[\left\{\left\{a\to 1,b\to \frac{7}{2},c\to \text{Root}\left[16 \text{$\#$1}^4-80 \text{$\#$1}^3+380 \text{$\#$1}^2-2268 \text{$\#$1}+3969\&,1\right]\right\}\right\}\]
\[\{\{a\to 1.,b\to 3.5,c\to 2.55794\}\}\]
这就是反例，作图验证确实如此。

abababa

色k 发表于 2024-1-14 18:22
其实用角平分线长公式及角平分线定理就可以找到啦：

输出：

原来如此，果然是我少写了条件。谢谢。