一道高中数学不等式问题

snowblink

如图

isee

题：设 $0<a<b<c<1$，且 $b\geqslant 2a$ 或 $a+b\leqslant 1$，则 $\max\{b-a,c-b,1-c\}$ 的最小值为___.


此题是两个题

设 $0<a<b<c<1$，若 $b\geqslant 2a$，则 $\max\{b-a,c-b,1-c\}$ 的最小值为___.

或

设 $0<a<b<c<1$，若 $a+b\leqslant 1$，则 $\max\{b-a,c-b,1-c\}$ 的最小值为___.

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这里仅讨论后者.

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\begin{align*}
\max\{b-a,c-b,1-c\}&\geqslant\frac{b-a+2(c-b)+2(1-c)}5\\
&=\frac{2-a-b}5\\
&\geqslant{\color{blue}{\frac15}},
\end{align*}

当且仅当 $b-a=c-b=1-c$ 时取得等号.

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对于前者$b-a,c-b,1-c$ 配比为 $2:1:1$，结果是 $1/4$ ，综上最小值确实是 $1/5$ .