$A,B,D,E$四点共线，求作$G$使得$\frac{GA}{GE}\cdot\frac{GB}{GD}=\frac{AB}{DE}$

abababa

已知$A,B,D,E$四点共线，坐标为$A=(0,0),B=(1,0),D=(3.5,0),E=(5,0)$，求作线外一点$G$，使得$\frac{GA}{GE}\cdot\frac{GB}{GD}=\frac{AB}{DE}=\frac{2}{3}$。

这个觉得直线一侧只有一个解，具体要怎么作出来？

战巡

事实上是有无数多个点.....

这里
\[\frac{AB}{DE}=\frac{S_{\Delta GAB}}{S_{\Delta GDE}}=\frac{GA\cdot GB\cdot\sin(\angle AGB)}{GD\cdot GE\cdot\sin(\angle EGD)}=\frac{GA\cdot GB}{GD\cdot GE}\]
这个说明
\[\sin(\angle AGB)=\sin(\angle EGD)\]
即有
\[\angle AGB=\angle EGD\]
（注意不可能是$\angle AGB+\angle EGD=180\du$，那样$\angle AGE>180\du$了）

如此，只要是过$A、B$的一个圆有半径$R_1$，过$D、E$的圆有半径$R_2$，且$\frac{AB}{DE}=\frac{R_1}{R_2}$，并且这两个圆有交点（别管有几个），那么这个(些)交点所在位置，都是满足条件的$G$点
而且这样的两个圆有无数个，所以对应的$G$点也就有无数个

abababa

战巡 发表于 2024-1-23 21:58
事实上是有无数多个点.....

这里

主楼的那个坐标是我自己编的，只有比例是原题里给的（除了最后的$\frac{AB}{DE}=\frac{2}{3}$）。其实如果设出$G=(x,y)$，然后计算那些线段长度，列出方程，拿Mathematica去算，就可以算出来，而以我编的坐标来考虑，方程没有实数解，这样的话$G$就不存在了。我想的是这个方程可以根式求解，那肯定能用尺规作图作出来，但这样的作法我觉得太差，就想有没有什么成熟的作图方案来解这个题。

战巡

abababa 发表于 2024-1-24 11:40
主楼的那个坐标是我自己编的，只有比例是原题里给的（除了最后的$\frac{AB}{DE}=\frac{2}{3}$）。其实如 ...

你到底有没有看我写的啊？？

还有你怎么可能靠区区一条方程解出$(x,y)$两个未知数？

abababa

战巡 发表于 2024-1-24 14:42
你到底有没有看我写的啊？？

还有你怎么可能靠区区一条方程解出$(x,y)$两个未知数？ ...

哦，我明白了，在Mathematica里输入等式，然后求解时默认是FindInstance，只要找到一个解就行了，我以为只有一个解。