指数型和函数不等式的证明

力工

求问各位，能直接放吗？
若 $x<-1$, 求证: $2^{\frac{1}{x}}+2^x<1$.

kuing

想起了更一般的这帖：
forum.php?mod=viewthread&tid=7861
（似乎还未解决）

ic_Mivoya

即需证 $2^{-x}+2^{-\frac1x}<1~(x>1)$.



考虑局部不等式: $2^x\ge x^{2\ln 2}+1~(x>0)$.

要证明其成立，只需证 $\ln(2^x-1)\ge 2\ln2\ln x$.

命 $f(x)=\ln(2^x-1)-2\ln2\ln x$, 则

$$\begin{aligned}
f'(x)&=\dfrac{2^x\ln2}{2^x-1}-\dfrac{2\ln2}x\\
&=\dfrac{2^x\ln 2(x-2+2^{1-x})}{x(2^x-1)}
\end{aligned}$$

显然 $g(x)=x-2+2^{1-x}$ 为下凸函数, 且 $g(0)=g(1)=0$.

因此当 $0<x<1$ 时 $g(x)<0$, 当 $x>1$ 时 $g(x)>0$.

故 $f(x)\ge f(1)=0$, 这就是要证的.



至此得到 $2^x\ge x^{2\ln 2}+1~(x>0)$, 取等条件为 $x=1$.

则立即就有 $2^{-x}+2^{-\frac1x}<\dfrac1{x^{2\ln2}+1}+\dfrac1{x^{-2\ln2}+1}=1.$ 证毕.