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kuing
Post time 2024-1-29 23:07
本帖最后由 kuing 于 2024-1-30 16:38 编辑 \begin{align*}
&\iff5\sin x+3\sin^2x-3\cos^2x-8\sin x\cos x=0\\
&\iff5\sin x-3\cos2x-4\sin2x=0,
\end{align*}
记 `a=3x/2`, `b=x/2`，则
\begin{align*}
5\sin x-3\cos2x-4\sin2x&=5\sin(a-b)-3\cos(a+b)-4\sin(a+b)\\
&=\sin a\cos b-9\cos a\sin b-3\cos a\cos b+3\sin a\sin b\\
&=(\sin a-3\cos a)(\cos b+3\sin b),
\end{align*}
由此得到
\[\tan\frac{3x}2=3~\text{或}~\tan\frac x2=-\frac13,\]
设 `k\inZ`，前者的解为
\[x=\frac23(\arctan3+k\pi);\]
后者的解为
\[x=2\left(-\arctan\frac13+k\pi\right),\]
还可以化简一点，由两倍角公式有
\[\tan\left(2\arctan\frac13\right)=\frac{2\cdot\frac13}{1-\frac1{3^2}}=\frac34\riff2\arctan\frac13=\arctan\frac34,\]
所以后者的解化简为
\[x=-\arctan\frac34+2k\pi.\] |
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睡神
Post time 2024-2-3 00:37
