两圆外切，证明角相等。

abababa

$\odot O_1, \odot O_2$外切于$P$，点$A$在$\odot O_1$上，直线$AD$切$\odot O_2$于$D$交$\odot O_1$于$C$，点$B$在$\odot O_1$上，直线$BE$切$\odot O_2$于$E$，直线$CF$平分$\angle BCD$交$DE$于$F$，求证$\angle CBF=\angle CPD$。

以前收藏的一个题，最后能得出$F$是旁心。我觉得导角那里有点复杂，是不是有什么简单证法？原证法如下：
设$DP$交$\odot O_1$于$T$，$TB$交$DE$于$F'$，由于$\odot O_1, \odot O_2$关于点$P$位似，$TPD$共线，所以$\overset{\LARGE\frown}{PT}=\overset{\LARGE\frown}{PD}$，于是$\angle PAT=\frac{\overset{\LARGE\frown}{PT}}{2}=\frac{\overset{\LARGE\frown}{PD}}{2}=\angle PED=\angle PDC$，所以$\triangle TAP\sim\triangle TDA$，于是$TA^2=TP\cdot TD$，且还有$\angle TPA=\angle TAD$，于是$\overset{\LARGE\frown}{AT}=\overset{\LARGE\frown}{CT}$。

由于$ATBP$共圆，所以$\angle PBF'=\angle TAP=\angle TDA=\angle PEF'$，于是$PBEF'$共圆，所以$\angle TF'P=\angle PEB=\angle PDE$，于是$TF'^2=TP\cdot TD$，但$TA^2=TP\cdot TD$，所以$TA=TF'$。

由于$\angle ABT=\frac{\overset{\LARGE\frown}{AT}}{2}=\frac{\overset{\LARGE\frown}{ATC}}{4}=\frac{360^{\circ}-\overset{\LARGE\frown}{AC}}{4}=90^\circ-\frac{\angle ABC}{2}$，所以$\angle CBF'=180^\circ-(\angle ABT+\angle ABC)=90^\circ-\frac{\angle ABC}{2}=\angle ABT$，从而$BF'$为$\angle ABC$的外角平分线。

由于$TF'=TA=TC, \angle CTF'=\frac{\overset{\LARGE\frown}{BC}}{2}=\angle BAC$，所以$\angle CF'T=\frac{180^\circ-\angle CTF'}{2}=90^\circ-\frac{\angle BAC}{2}$，于是$\angle BCF'=180^\circ-(\angle CF'T+\angle CBF')=90^\circ-\frac{\angle ACB}{2}$，继而$\angle DCF'=180^\circ-(\angle BCF'+\angle ACB)=90^\circ-\frac{\angle ACB}{2}$，所以$CF'$平分$\angle BCD$，但$CF$平分$\angle BCD$，于是$F,F'$重合。

设$PK$为两圆公切线，于是$\angle CBF=\angle CBP+\angle PBF=\angle CPK+\angle PEF=\angle CPK+\angle DPK=\angle CPD$。

显然$F$即$\triangle ABC$的旁心。