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hbghlyj
Post time 2024-2-14 17:01
73Dsi 发表于 2024-2-14 08:53
2.3.5
问题 设复系数多项式 $f(x)=x^4+m x^3+n x^2+x$ 的四个不同的复根在复平面上对应的点在同一个圆上,若 $m n \in \mathbb{R}$, 求证: $1<m n<9$.
解. 对原点反演, 原题变成如下问题: 复系数多项式 $x^3+u x^2+v x+1=0$ 的三个不同复根共线, 且该直线不经过原点, 若 $u v \in \mathbb{R}$, 求证 $1<u v<9$.
设该三个复根所在的直线可以参数化表示为 $x=z(t+r)$, 其中系数 $z, r \in \mathbb{C}, z \neq 0$, 参数 $t \in \mathbb{R}$. 因为该直线不经过原点 $x=0$, 所以 $r \notin \mathbb{R}$. 具体可以设三个复根为 $z(a+r), z(b+r), z(c+r)$, 其中 $a, b, c \in \mathbb{R}$ 且互不相等.
使用韦达定理，
\[
\left\{\begin{array}{l}
u=-z((a+r)+(b+r)+(c+r)) \\
v=z^2((a+r)(b+r)+(b+r)(c+r)+(c+r)(a+r)) \\
1=-z^3(a+r)(b+r)(c+r)
\end{array}\right.
\]假设 $w=u v \in \mathbb{R}$, 则上面三个等式可以推出
\[
\sum_{\text{cyc}}(a+r) \sum_{\text{cyc}}(a+r)(b+r)=w \prod_{\text{cyc}}(a+r) .
\]展开整理成关于 $r$ 的实系数方程:
\[
(w-9) r^3+(w-9) \sum_{\text{cyc}} a r^2+\sum_{\text{cyc}}\left(-2 a^2+(w-7) a b\right) r+\left((w-3) a b c-\sum_{\text{cyc}}\left(a^2 b+a^2 c\right)\right)=0
\]当 $w=9$, 该方程退化为关于 $r$ 的一次方程, 且一次项系数为 $\sum_{c y c}\left(-2 a^2-2 a b\right)=-\sum_{\text{cyc}}(a-b)^2 \neq 0$. 因此解得 $r$是实数, 矛盾.
当 $w \neq 9$, 需要该三次方程的三个根不能都是实数. 因此需要判别式 $\Delta<0$. 计算并配方, 得到如下恒等式:
\[
\Delta=(w-9)\left[(w-3)^3 \prod_{\text{cyc}}(a-b)^2+(w-1) \prod_{\text{cyc}}(a+b-2 c)^2\right]
\]因此 $\Delta<0$ 推出必须 $1<w<9$, 证毕.
注释 2.2 本题是对 HMMT February 2022 Team Round P6 的推广, 原题只需证明 $m n \neq 9$. 事实上, 原题有如下的简单做法:
设三个非零根 $z_1, z_2, z_3$ 在过原点的圆 $C$ 上, 它们的反演像在直线 $l$ 上. 因此 $\frac{1 / z_1+1 / z_2+1 / z_3}{3}=-\frac{b}{3}$ 也在直线 $l$ 上. 考虑 $z_1, z_2, z_3$ 重心的反演像 $\frac{3}{z_1+z_2+z_3}=-\frac{3}{a}$, 由于重心不在圆 $C$ 上, 因此其反演像也不在直线 $l$ 上, 从而有 $-\frac{3}{a} \neq-\frac{b}{3}$, 即 $a b \neq 9$.
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73Dsi
Post time 2024-2-14 16:53
