来自QQ网友：a^2=b+c, B=2C, 证 b>2/3

kuing

零定义 2024/2/4 19:04:37
k神，在三角形中，a^2=b+c，B=2C，证明：b>2/3
这个题有更好的方法证明不

kuing 2024/2/4 23:53:56
发论坛上吧，我暂时没有撸题欲

零定义 2024/2/5 0:07:57
不会弄代码

证：由 `B=2C` 得 `b>c` 且 `\sin B=2\sin C\cos C<2\sin C`，因此 `b<2c`。

又熟知 `B=2C\iff b^2=c(a+c)`，得到 `a=(b^2-c^2)/c`，因此
\[b=\frac{b(b+c)}{a^2}=\frac{b(b+c)c^2}{(b^2-c^2)^2}=\frac{bc^2}{(b+c)(b-c)^2},\]
到这里可以换元求导啥的求出范围，不过既然原题只要证它 `>2/3`，那直接作差好了
\[b-\frac23=\frac{(2c-b)(2b^2+2bc-c^2)}{3(b-c)^2(b+c)}>0.\]