n次曲线 一条直线与它至多有k个不同的实交点，k的最小值？

hbghlyj

n次曲线 一条直线与它至多有k个不同的实交点，k的最小值？

这个问题等价于：
n次二元多项式$f(x,y)$，任意实数$a,b$，$f(x,ax+b)=0$至多有k个不同实根，求k的最小值

hbghlyj

任意平面实三次曲线，存在一条与它相交三次的直线。
证明：过曲线上两点作直线，联立得到的三次方程有$\ge2$个实根，则3个根都是实根，则曲线和直线有3个实交点。

当$n=3,5,7\dots$时，$k\ge3$.
任意平面实$n$次曲线，存在一条与它相交$\ge3$次的直线。
证明：过曲线上两点作直线，联立得到的$n$次方程有$\ge2$个实根，（$n$为奇数，虚根数为偶数，则实根数为奇数）则有$\ge3$实根，则曲线和直线有$\ge3$个实交点。

hbghlyj

例如$x^{n}+y^{n}=1\;(n=2,4,6,\cdots)$，一条直线与它至多有2个不同的交点.

hbghlyj

好像当$n=3,5,7,\dots$时，$k=3$
例如$y-x^n=0$，一条直线与它至多有3个不同的交点。可以证明吗？

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-4-1 13:21
好像当$n=3,5,7,\dots$时，$k=3$
例如$y-x^n=0$，一条直线与它至多有3个不同的交点。可以证明吗？ ...

大概需要用Bernoulli $(1+x)^n>1+nx,\forall x\in[-2,0)\cup(0,\infty)$
然后呢？